为x1x2x30的解向量。取1213
TT
P2110
T
P3101
T
令
PPP2P31
，
5分则有AP1
P2
P3PP21
P3diag633，
9
f线性代数期末试卷
共10页
第10页
AP1
10分
P2
6P33P13
P2
P3
1
411141114
。
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A、B为两个
阶方阵，且A的
个特征值互异，若A的特征向量恒为B的特征向量，证明ABBA。证明：设PPP为A的特征向量，则PPPP必可逆。12
12

设12
为A对应的特征值，12
为B对应的特征值，则有
APdiag1
P1，BPdiag1
P1。
2
ABPdiag1
diag1
P1
分
分
Pdiag1
diag1
P1BA。
32
5
1
18．A2E，BA2A2E，证明B可逆，并求B。证明
B
2
2

A
逆
1
2
：
2
A1

12A2
10

，
A
A32EA
2分
可
A2EA22A4E10EA2E
1
2A2A4E
，
3分分
AEA2AEEAE
可逆，且
A2AE，
11
4
B
5分
B1AEA2EA1
12A3A4E10
10
fr