数fx的最大值及取得最大值的自变量x的集合II函数fx的单调增区间【解析】I解法一
fx
1cos2x31cos2xπsi
2x1si
2xcos2x22si
2x224
∴当2x
π
4
2kπ
π
2
即xkπ
π
8
k∈Z时fx取得最大值22
函数fx的取得最大值的自变量x的集合为xx∈Rxkπ解法二
π
8
k∈Z
fxsi
2xcos2x2si
xcosx2cos2x2si
xcosx12cos2xsi
2xcos2x2
22si
2x4∴当2x
π
π
4
2kπ
π
2
即xkπ
π
8
k∈Z时fx取得最大值22
函数fx的取得最大值的自变量x的集合为xx∈RxkπII解fx22si
2x
π
8
k∈Z
π
4

f由题意得2kπ即kπ
π
2
≤2x
π
4
≤2kπ
π
2
k∈Z
3ππ≤x≤kπk∈Z88
因此函数fx的单调增区间为kπ
3ππkπk∈Z88
【点评】本小题考查三角公式三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识考查综合运用三角有关知识的能力18本小题满分12分已知正方形ABCDEF分别是ABCD的中点将△ADE沿DE折起如图所示记二面角ADEC的大小为θ0θπI证明BF平面ADEII若△ACD为正三角形试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上证明你的结论并求角θ的余弦值BABEFCEFADD
C
【解析】I证明EF分别为正方形ABCD得边ABCD的中点∴EBFD且EBFD∴四边形EBFD为平行四边形∴BFED
∵EF平面AED而BF平面AED
∴BF平面ADE
II解法1如右图点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上过点A作AG垂直于平面BCDE垂足为G连结GCGD∵ACD为正三角形∴ACAD∴CGGD
f∵G在CD的垂直平分线上∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上过G作GH垂直于ED于H连结AH则AH⊥DE所以∠AHD为二面角ADEC的平面角即∠AHGθ
设原正方体的边长为2a连结AF在折后图的AEF中AF3aEF2AE2a即AEF为直角三角形AGEFAEAF
∴AG
3a2
在RtADE中AHDEAEAD
∴AH
2a5a25
∴GH
cosθ
GH1AH4
解法2点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF在平面AEF内过点作AG′⊥EF垂足为G′∵ACD为正三角形F为CD的中点
∴AF⊥CD又因EF⊥CD
所以CD⊥平面AEF
∵AG′平面AEF∴AG′⊥CD
又AG′⊥EF且CD∩EFFCD平面BCDEEF平面BCDE
∴AG′⊥平面BCDE∴G′为A在平面BCDE内的射影G
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H连结AH则AH⊥DE所以∠AHD为r