题满分40分）已知m，
为正整数
m
P
A
O
B
1用数学归纳法证明：当x＞－1时，1＋x≥1＋mx；2对于
≥6，已知1
3求出满足等式3
＋4
＋＋
＋2
＝
＋3
的所有正整数

1
1m
1，求证：1mm123
；
32
32

三、（本题满分50分）（1）证明：存在无穷多个正整数
，使32与52同时为合数
（2）试判断是否存在正整数p和q，使得对于任意
≥2007，总有p32与q52之一为素数？并证明你的结论。


四、（本题满分50分）现有一根由
颗珠子串成的项链（环行线串成）。每颗珠子上都标着一个整数，且它们的和为
1，求证：我们可以把这串项链绳从某处截断，使它成为一根线段上串着
颗珠
子的珠串，它们的相继标号顺次为x1x2x
，且对一切k12
恒有
x
i1
k
i
k1成立。
2014模拟卷（3）
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f2014年全国高中数学联赛模拟卷3答案
1、函数的定义域为15，且y＞0y5x125x
5222x125x227463
127当且仅当2x155x，等号成立，即x＝时函数取最大值63272、跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。
3、f24a2bc3abcabc3c3f1f13f03f1f13f0
3137当fx2x21时f27
4a
1S
1S


1
2211a
1a
，即2a
1a
1
2
1
1
2
1
12111，由此得2a
1．a
a
1
2
1
1
2
1
令b
a

1111111，b1a1a10，有b
1b
，故b
，所以a
．2222
1
12
①
x2y2122222225由a2b2可得abx2axaab0xy1
由OMON得x1x2y1y20即2x1x2x1x210将x1x2
2a2a2b2
a2a2b211113c2x1x22代入得222即222因为得2abbaab3a21b211b223112得2有a2222解得52a62a3a22a32k12k或x，6、由si
xsi
x得：
x2kx或2kx，即x又x0r