2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1已知△ABC，若对任意tR，BAtBCAC，则△ABC一定为
A．锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D答案不确定【答案】（）
2设logx2x2x1logx21，则x的取值范围为
A．1x12
B．x1且x1C．x1D．0x12
【答案】（）
5设fxx3log2xx21，则对任意实数ab，ab0是fafb0的
A充分必要条件C必要而不充分条件
B充分而不必要条件D既不充分也不必要条件
【答案】（）
6数码a1a2a3La2006中有奇数个9的2020位十进制数2a1a2a3La2006的个数为
A．110200682006B．110200682006
2
2
案】（）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
C．10200682006D．10200682006
【答
7设fxsi
4xsi
xcosxcos4x，则fx的值域是
。
8若对一切R，复数zacos2asi
i的模不超过2，则实数a的取值范围
为
9
已知椭圆x216

y24
1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x
3y82
30
f上
当F1PF2取最大值时，比
PF1PF2
的值为

10底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为1cm的实心铁球，四个球两两相切，2
其中底层两球与容器底面相切现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3
11方程x200611x2x4Lx20042006x2005的实数解的个数为
12袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4
次恰好取完所有红球的概率为

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
15设
fxx2a记f1xfx，
f
xff
1x，
23L，
MaR对所有正整数
，f
02证明：
M2
14


2020年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：0012：00）
一、以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。试证：（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；
f（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。
一试参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1【答案】（C）
【解析】令ABC，过A作ADBC于D。由BAtBCAC，推出
uuur2BA
uuuruuur2tBAgBCt2
uuurBC
2

uuurAC
2
uuuruuur

令
t

BAgBCuuur2
，代入上式，得
BC
uuur