2012年全国高中数学联赛模拟卷1第一试
考试时间：80分钟满分：120分姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1．不等式
14x
2
12x
2
2x9的解集为
．
2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________①三角形②正方形③梯形④五边形⑤六边形3．直线kxy2与曲线1y1x1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_________
2
4．复数z，使zz2z
3
ab
2
，则z的所有可能值为_____
a1
____．．
1c1c1a1a1b1b
5．所有的满足条件aba
b
b1
ab的正整数对ab的个数为

6．设abc为方程x3k1xk20的根（k1k21），则
__
7．将号码分别为1、2、、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b则使不等式a2b100成立的事件发生的概率等于．8．已知ABC为△ABC三内角向量cos
AB2
MCAB

3si

AB2

2如果当C最大时
存在动点M使得MAABMB成等差数列则
最大值是__
___
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
9．对正整数
2，记a


1

k
2
1
k1
，求数列a
中的最大值．
k1
10．给定正实数k，圆心为a，b的圆至少与抛物线ykx有三个公共点，一个是原点00，另两个
2
点在直线ykxb上，求a，b的值（用k表示）．
11．已知函数fxasi
xcosx3si
2x7其中a为实数，求所有的数对a
∈N使得函数yfx在区间0
内恰好有2011个零点．
2012模拟卷（1）
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f2012年全国高中数学联赛模拟卷1加试
考试时间：150分钟满分：180分姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在RtABC中，CD是斜边AB上的高，记I1I2I分别是△ADC△BCD
△ABC的内心，I在AB边上的射影为O1，CABABC的角平分线分别交BCAC于PQ，且PQ的连线与CD相交于O2，求证：四边形I1O1I2O2为正方形．CPQI1DO1II2AB
二、（本题满分40分）给定正数abcd证明：
abc
333
abc

bcd
33
3
bcd

cd
3
3
a
3
cda

d
3
ab
3
3
dab
abcd
2r