144
3106
177
0
0
0，5分
T37基础解系为：1010210001，44
T
8分10分
通解为：xc11c22。14．设11
41
2123
T
0，21
T
2
0
3，32
T
4
6
0，
T
0，问1234是否线性相关，为什么？
解：1
2
3
4
1230
1203
2460
11201000
1330
2000
14，00
5分
因为R123434，所以1234线性相关。
315．设A11510
1
8分10分
110，且有AXAXA2A，求X。2
1
解：AAXAA
1
AXAA
2AAA
1
，
3分6分
XAX2AEAX2A，
XEA
1
62A24
10410
42。0
10分
f四、解答题（10分）
16．求一个正交变换，使二次型fx1x2x3x14x24x34x1x34x1x28x2x3化
222
为标准型。
1解：相应的二次型为A2224424，4
2分
AE019230，
T当19时，AEx0122P1122
4分

3
3
3

T

5分7分
T
当10时，AX02210，3011，
TT
Schimit正交化得P22
15
0，P325455，151535
T
9分10分
所求的正交变换为XPYP1
P2
P3Y，标准型为f9y1。
2
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．对任意
阶方阵A，证明：AA为对称矩阵，AA为反对称矩阵，且A可以表
TT
示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。证明：AA
T

T
AA
T
T

T
AA
T
AA为对称矩阵。
T
T
2分4分5分
AA
T
T
AA
T
T
T

T
AA

AA为反对称矩阵。
T
A
AA2

AA2
T
。
18．A是
阶正交矩阵，A1，求证1是A的一个特征值。证明：A是
阶正交矩阵，所以有AAE，
T
1分
T
AEAAA
T
AAEAEAE，
T
4分5分
AE01是A的一个特征值。
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