144
3106
177
0
0
0,5分
T37基础解系为:1010210001,44
T
8分10分
通解为:xc11c22。14.设11
41
2123
T
0,21
T
2
0
3,32
T
4
6
0,
T
0,问1234是否线性相关,为什么?
解:1
2
3
4
1230
1203
2460
11201000
1330
2000
14,00
5分
因为R123434,所以1234线性相关。
315.设A11510
1
8分10分
110,且有AXAXA2A,求X。2
1
解:AAXAA
1
AXAA
2AAA
1
,
3分6分
XAX2AEAX2A,
XEA
1
62A24
10410
42。0
10分
f四、解答题(10分)
16.求一个正交变换,使二次型fx1x2x3x14x24x34x1x34x1x28x2x3化
222
为标准型。
1解:相应的二次型为A2224424,4
2分
AE019230,
T当19时,AEx0122P1122
4分
3
3
3
T
5分7分
T
当10时,AX02210,3011,
TT
Schimit正交化得P22
15
0,P325455,151535
T
9分10分
所求的正交变换为XPYP1
P2
P3Y,标准型为f9y1。
2
五、证明题(每小题5分,共10分)
17.对任意
阶方阵A,证明:AA为对称矩阵,AA为反对称矩阵,且A可以表
TT
示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。证明:AA
T
T
AA
T
T
T
AA
T
AA为对称矩阵。
T
T
2分4分5分
AA
T
T
AA
T
T
T
T
AA
AA为反对称矩阵。
T
A
AA2
AA2
T
。
18.A是
阶正交矩阵,A1,求证1是A的一个特征值。证明:A是
阶正交矩阵,所以有AAE,
T
1分
T
AEAAA
T
AAEAEAE,
T
4分5分
AE01是A的一个特征值。
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