数是105的倍数，其中的
奇倍数恰有95个．
8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2，A1B1C1分别是棱DADBDC的中点，
C，并将两弧各分成五等分，A1B1B以D为圆心，1为半径，分别在面DABDBC内作弧11
分点顺次为A1P1Q1Q2Q3Q4C1，1P2P3P4B1以及B一只甲虫欲从点P1出发，沿四面体表面爬行至点Q4，则其爬行的最短距离为答案：2si
42．解：作两种展开，然后比较；
0
．
CA1B1被A1PB由于1P2P3P4B1分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为12，11被
0
B1Q1Q2Q3Q4C1分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为120，
若将DBC绕线段DB旋转，使之与DAB共面，这两段弧均重合于以D为圆心，半
对应的圆心角为81296，PQ径为1的圆周，此时，点P141Q4之间直线距离为2si
48，
000
若将DAB绕线段DA旋转，DBC绕线段DC旋转，使之皆与DAC共面，在所
对应的圆心角为71284，此时，点PQ之间直线距离为2si
42，得图形中，PQ1414
000
所以最短距离是2si
42．二、解答题
29、正整数数列a
满足：a12a
1a
a
1；证明：数列的任何两项皆互质．
0
证：改写条件为a
11a
a
1，从而a
1a
1a
11，等等，据此迭代得
a
11a
a
1a
11a
a
1a
2a
21a
a
1a1a11a
a
1a1，
所以，a
a
1a
2a11，因此当k
，a
ak1．
10、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到
F，使HFCE，作FDBC，EGBH，其中DG为垂足，M是线段CF的中点，
O1O2分别为ABGBCH的外接圆圆心，O1O2的另一交点为N；
5
fA
证明：1、ABDG四点共圆；
2、O1O2MN四点共圆；
证：1、如图，设EGDFK，连AH，则因ACBHEKBH，AHBC，
B
F
GHNME
O1
D
C
O2
KFBC，得CA∥EK，AH∥KF，且CHEF，所以CAF≌EKF，AH与KF平行且相等，故AK∥HF，
KAB900KDBKGB，因此，
K
ABDG四点共圆；
A
2、据1，BK为O1的直径，作O2的直径
BP，连CPKPHPO1O2，则
O1
FH
GNME
BCPBHP900，所以CP∥AH，
HP∥AC，故AHPC为平行四边形，进而得，PC与KF平行且相等，因此对角线KP与CF互
相平分于M，从而O1O2M是KBP三边的中点，KM∥O1O2，
B
D
C
O2P
而由KNB90，O1O2BN，得KN∥O1O2r