，所以MNK共线，
0
因此MN∥O1O2，又由KBP的中位线知MO2O1BO1N，因此四边形O1O2MN是等腰梯形，其顶点共圆．
11、对于任意给定的无理数ab及实数r0，证明：圆周xaybr2上
22
至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．证：对于点Mab，用PMr表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点A00B22，线段AB中垂线l的方程为xy2今在l上取点M1212，再取rMA6，则以M为圆心、r为半径的圆周上至少有AB这两个有理点；


6
f其次说明，对于任何无理点M以及任意正实数r，PMr2；为此，假设有无理点Mab及正实数r，在以M为圆心，r为半径的圆周上，至少有三个有理点Aixiyi，xiyi为有理数，i123，则
x1a
2
y1bx2ay2bx3ay3b
2222
2
……①
1222x1y12x2y2……②21据后一等号得x2x3ay2y3bx22y22x32y32……③2121记x1y12x22y22t1，2x22y22x32y32t2，则t1t2为有理数，2
据前一等号得
x1x2ay1y2b
若x1x20，则由②，y1y2bt1，因b为无理数，得y1y20，故A1A2共点，矛盾！同理，若x2x30，可得A2A3共点，矛盾！若x1x20x2x30，由②、③消去b得，
x1x2y2y3y1y2x2x3at1y2y3t2y1y2有理数，因a为无
理数，故得，x1x2y2y3y1y2x2x30，所以
y1y2y3y2，则A1A2A3共线，这与A1A2A3共圆矛盾！x1x2x3x2
因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点．于是对于所有的无理点M及所有正实数r，
PMr的最大值为2．
12、从集合M1236中删去
个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不
是2015的因数，求
的最小值．答案：17．解：因201551331，M中任两个元素之和不大于71，由于2015不大于71的正因数有15133165，在M的二元子集中，元素和为5的有1423；元素和为13的有112211310495867；元素和为31的有130229328427r