2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题
2017年5月21日上午8301100
一、填空题（每题10分，共80分）
1、化简1

1

1
…
122123323443

1

．
2016201720172016
2、若si
xcosx2，则si
3xcos3x
．
2
3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是
．
4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率
e
．
5、函数y4x34x21的最小值是
．
6、设1xx2
a0a1xa2x2…a2
x2
，则
a2a4a6…a2

．
7
、将全体真分数排成这样的一个数列a



：
12

13

23

14

24

34

…，排序方法是：自左至
右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017
项a2017
．
8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列a
，若
a
2017，则
．
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f二、解答题（共70分）
9、（本题满分15分）数列a
，b
满足：a1b11，a
1a
2b
，
b
1a
b
1．
证明：（1）、a2
12，a2
2；（2）、a
12a
2．
b2
1
b2

b
1
b

10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a，b，c使得a3b3，b3c3，c3a3均是2017的倍数；证明：a2b2c2必是abc的倍数．
11、（本题满分20分）设P｛12，22，32，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数
能够表示为集合P中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数
具有P结构．证明：每个自然数
都具有P结构．
12、（本题满分20分）如图，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，CD是经过点A的一条线段，其中，点C，D分别在⊙O1、⊙O2上，过线段CD上的任意一点K，作KMBD，KNBC，点M，N分别在BC，BD上，又向BCD形外方向，作MEBC，BFBD，其中E在⊙O1上，F在⊙O2上；证明：KEKF．
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