2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷
(考试时间:2015年5月24日上午9:00-11:30,满分160分)一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)
x41.设集合Ax0,xZ,从集合A中随机抽取一个元素x,记x2,则随机x3
变量的数学期望E
。。
2.已知fxxgx,其中gx是定义在R上,最小正周期为2的函数。若fx在区间
4上的最大值为1,则fx在区间10,12上的最大值为2,
x2y23.F1、F2为椭圆C:221(ab0)的左、右焦点,若椭圆C上存在一点P,使ab
得PF1PF2,则椭圆离心率e的取值范围为
。。
4.已知实数x,y,z满足x22y23z224,则x2y3z的最小值为5.已知函数fxx2cos的前100项之和S100
x
2
,数列a
中,a
f
f
1(
N),则数列a
。
6.如图,在四面体ABCD中,DADBDC2,DADB,DADC,且DA与平面ABC所成角的余弦值为
6。则该四面体外接球半径R3
。
7.在复平面内,复数z1、z2、z3的对应点分别为Z1、Z2、Z3。若z1z22,
uuuruuurOZ1OZ20,z1z2z31,则z3的取值范围是
。
8.已知函数fxex,则a的取值范围xaex恰有两个极值点x1,x2(x1x2)为。
x09.已知fxm2xx2
x,若xfxffx0
,则m
的取值范围
为10.若si
。
9
si
2
14Lsi
ta
,则正整数
的最小值为9929
1
。
f二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分。要求写出解题过程)11.求函数y2x4x28x3的最小值。
y21于A、B两点。1斜率为k的直线l交双曲线C:x12.已知过点P0,3
2
(1)求k的取值范围;(2)若F2为双曲线C的右焦点,且AF2BF26,求k的值。
13.如图,I、D分别为△ABC的内心、旁心,BC与圆I、圆D相切,切点分别为E、F,
G为AD与BC的交点。
A
(1)求证:
AIGE;ADGF
IMBFGE
(2)若M为EF中点,求证:AE∥DM。(旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。)
C
D
14.在坐标平面内,横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的三角形称为整
72015为内心且直角顶点在坐标原点O的整点直r