2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题
考生注意：1本试卷共五道大题，满分140分2解答书写时不要超过密封线
一．填空题（共8小题，每小题8分，满分64分）1．已知数组a1a2a
与b1b2b
都是12
的一个排列，则为．
ab的最大值
i1ii


2．若长方体的一条体对角线与从同一顶点出发的三条棱所成的角分别记为，，，则的最小值为3．已知x，y为实数，则．的最小值为．
4．ABC中，三边长分别为AB7，BC3，CA
2，则
ABBC2BCCA3CAAB的值为
5．已知a，b，且
．．
，则ab2c3的最小值为
6．从不超过2013的正整数确定的集合1232013中先后取出两个正整数a，b（a，b可以相等）组成数对（a，b），则（a，b）恰为方程xyxy的解的概率为
3322
．
7．四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，对角线AC2，
BD2，AE平面ABCD，CF平面ABCD，AE1，
CF2，则四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分体积
为．
8．平面直角坐标系xOy中，设A11，B，C是曲线
f上不同的两点，且ABC为正三角形，则它的外接圆面积为
．
二．（本题满分16分）证明方程3x3913x21813x121030有唯一实根．
三．（本题满分20分）已知实数A、B、C为ABC的三个内角，向量满足：


2，且
cos

ABAB3si
，若C最大时，存在动点M，使MA、AB、MB成等差数列，求22MCAB
的最大值．

四．（本题满分20分）在数列x
中，x
pq，p，qR，
，
．
（1）求证：（2）指出
；的末尾数字，但不必证明．
五．（本题满分20分）已知抛物线点，过作抛物线
：、
与直线：为切点．
没有公共点，设点
为直线上的动
的两条切线，恒过定点．
（1）证明：直线（2）若点与点
的连线交抛物线
于
、
，证明：PMQNPNQM．
f2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题答案
一、填空题1、
2、故
解析：令且
，由
，
当且仅当3、解析：令，
时取等号。亦即长方体为正方体时取等号。，则，
4、5、解析：令，，
有条件知取
，于是
f6、设又由（1）（2）得当当当当时，时，时，时，
解析先研究为该方程的满足
的正整数解。的正r