2018年全国高中数学联赛河南省预赛高三数学试题
一、填空题
1．已知函数
，若的定义域为
，值域为
，
则的值为______．
【答案】0
【解析】【详解】
因为所以有
，得
，，故在上是增函数，
进而故填0．
．解得
（舍）或
．
2．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任
意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．
【答案】2
【解析】【详解】
因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，
所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体．
记大正四面体的外接球半径为，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为，
易知
，故小正四面体棱长的最大值为
．
3．已知为虚数单位，则在
的展开式中，所有奇数项的和是______．
【答案】512【解析】【详解】
易知
的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部．
又
．第1页共6页
f故填512．
4．已知点在
内，且满足
，设
、
、
的面积
依次为、、，则
______．
【答案】
【解析】【详解】
因为所以
，
，所以
．
5．已知、、均为正数，则【答案】【解析】【详解】
的最大值为______．
记
于是又
，那么
，
，
，
，得
．
①
．
②
由①②可得
，所以
6．若的余数是______．【答案】1【解析】【详解】
令，得
．
，即
，当且仅当，则
时取得．被3除
分别令和
，将得到的两式相加，得
．
所以．
7．设经过定点
的直线与抛物线
则的值为______．【答案】2
【解析】【详解】
相交于、两点，若
第2页共6页
为常数，
f设直线的参数方程为代入抛物线方程得
（是参数，是倾斜角且
，
．
设该方程的两根为、，则
，
，
则
为常数，
所以．
8．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记
录
个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上
的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个．
【答案】8
【解析】【详解】
“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有
种．
一方面，个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个．
另一方面，若，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件．
故该圆中等分点的个数最多可有8个．
二、解答题9．已知
【答案】
【解析】【详解】
由题意得
r