ffffff2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案
一、填空题1、21501；2、1；3、3；4、
2；9
5、17；
6、4
7、0
34（必修3）bs；（必修4）1；；8、2；9、33
10、1511
二、证明：（1）延长AE交圆O1与F1，连接CF1。由AE平分BACBAEDAE，结合AB，故BAEAD，DAE
B
BD，而CF1AB
CF1ECF1AD
C，E，F1，D四点共圆
因此F1也是两圆的交点，从而F1和F
O1E
F
O2D
重合，即A，E，F共线。AC（2）由A，E，F共线，AE平分图2BACBFC，F由对称性得出BFDF，故CFBFDF，因此CFD为等腰三角形，由于O2为其外心，故O2FCD即O2FAD三、（1）由点到直线的距离公式得：d
ax0by02b1a2b2
ax0by021
因d是常数，故
x00x00，即P02，从而d1y020y02
（2）由（1）知，P02到直线系M中任一条直线的距离都是1，因此直线系M中每一条直线都是以P为圆心，以1为半径的圆（圆xy21）的切线
22
由平面几何知识，圆内的每一点都不被其切线经过，圆上的每一点只能作出一条切线，而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线，故Q点的轨迹是圆及其内部，即
fx2y221
四、（必修3）解：设较长的一段长度为a，将a分成的两段长为x，y，
1axy1，2
1x21若长度为x，y，1a的三段能构成三角形，则y，212a1
画出图形计算出P
1311P111l
3
1123
233

（2）l
3
11
x
由ex1xl
x1
1l
11l
211l
1l
3l
22211l
1l
4l
3331l
11l
3
1l
3
3
3
以上各式相加得：l
3
11
11111P，即l
3
11233
23

（必修4）（1）注意到函数fx的定义域是R，xR，
fxx22asi
cosxa2fx，故fx为偶函数
（2）由于fx0仅有一个实数解，且fxfx故其有唯一解x0
f00a22asi
1a0或asi
1
（i）当a0时，原方程化为x0，仅有一个解x0，符合题意
2
f（ii）当asi
1时，原方程化为x4si
1si
cosr