2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．若函数
f
x

3cosx

si
x6
（3

0）的最小正周期为
，则
f
x
在区间
0
，2

上的最大值为
。
2．已知集合A
xx23x20
，
B


x

x
13

a

，

若AB，则实数a的取值范围为
。
3．函数fxx2l
xx22零点的个数为
。
D1A1
DA
C1B1
CB
4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角BA1CD的大小为
。
5．在空间四边形ABCD中，已知AB2，BC3，CD4，DA5，则
ACBD
。
6．已知直线l过椭圆C：x2y21的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原点，若2
OAOB，则点O到直线AB的距离为
。
7．已知zC，若关于x的方程x22zx3i0（i为虚数单位）有实数根，则复数z的模z的4
最小值为
。
8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则
不同的分配方法种数为
。（用数字作答）
9．fx是定义在R的函数，若f01008，且对任意xR，满足fx4fx2x1，
fx12fx6x5，则f2016
。
2016
10．当
x
，
y
，
z
为正数时，
4xzx2y2
yzz2
的最大值为
。
f二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．已知数列a
的前
项和S
2a
2（
N）。（1）求a
的通项公式a
；
（2）设b


1a


1
1
，T

是数列
b

的前

项和，求正整数k
，使得对任意
N
均有Tk
T

；
（3）设c


1
a
1a
1
a
1
，
R

是数列
c

的前
项和，若对任意
N均有R
成立，
求的最小值。
12．已知fxl
axbx2（a0）。（1）若曲线yfx在点1，f1处的切线方程为yx，求a，b的值；（2）若fxx2x恒成立，求ab的最大值。
f13．如图，⊙O为△ABC的外接圆，DA是⊙O的切线，且DBAABC，E是直线DB与⊙O
的另一交点。点F在⊙O上，且BF∥EC，G是CF的延长线与切线DA的交点。求证：
AGAD。
G
F
C
O
E
A
B
D（第13题）
14．如图，
F1、
F2
为双曲线C
：
x24

y2
1的左、右焦点，动点
Px0
，y0
（
y0
1）在双
曲线C上的右支上。设F1PF2的角平分线交x轴于点Mm，0，交y轴于点N。
（1）求m的取值范围；
（2）设过F1，N的直线l交双曲线C于点D，E两点，求△F2DE面积的最大值。
f15．求满r