在椭圆C上，是否存在点Mm
，使得直线lmx
y1与圆Ox2y21相交于不同
的两点AB，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存
在，请说明理由。
解：（1）由ec2c22a2，所以b2a2c21a2
a3
3
3
2012广东高考数学理科试题信参考答案第7页共10页
f设Px
y
是椭圆
C
上任意一点，则
x2a2

y2b2
1，所以x2

a21
y2b2

a2
3y2
PQx2y22a23y2y222y12a263ay3a
3
3
①
当3a13a，即a3时，y1时，PQ有最大值a263，
3
3
可得a3，所以b1c2；
②当3a1，即0a3时，y3a时，PQ有最大值3a223，可得
3
3
3
a3，舍去。
所以b1c2故椭圆C的方程为：x2y2132
（2）因为Mm
在椭圆C上，所以m2
21，m233
2
32
2
设
Ax1
y1
，
Bx2
y2
，由
mx

x2


yy2
1
，得
1
m2


2x2

2mx
1

2

0
所以，4m24m2
21
24
2m2
214
221
20，可得
242
并且：
x1

x2

2mm2
2
，x1x2

1
2m2
2
所以，
y1y2
1mx1

1mx2


1

m
x1

x2
2


m2
x1
x2

1m2m2
2
所以，ABx1x22y1y22x12y12x22y222x1x2y1y2

2

1
22m2
2

1m2m2
2


2
1

m2
1

2
（亦可AB
r2d2，其中d为圆心到直线
mx
y1的距离）
设点O到直线AB的距离为h，则h1m2
2
2012广东高考数学理科试题信参考答案第8页共10页
f所以S
OAB

12

AB
h

111m2
2m2
2
设t

m2
1

2
，由0


2

4，得m2


2

3
12

2
13，所以，t
113
SOAB
t1t
t121，t11
24
3
所以，当t

12
时，S
OAB
面积最大，最大为
12
。
此时，M02
21（本小题满分14分）
设a1，集合AxRx0BxR2x231ax6ax0，DAB
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数fx2x331ax26ax在D内的极值点。
解：（1）对于方程2x231ax6a0
判别式91a248a3a33a1
因为a1，所以a30
①当1a1时，0，此时BR，所以D0；3
②当a1时，0，此时Bxx1，所以D011；3
当
a

13
时，


0，设方程
2x2

31
ax

6a

0
的两根为
x1
x2
且
x1

x2
，则
31ax1
3a4
33a
1
，
x2

31
a

3a33a14
Bxxx1或xx2
③
当0

a

13
时，
x1

x2

32
1
a

0
，
x1x2

3a

0
，所以
x1

0
x2

0
此时，Dxx1x2
031a3a33a131a3a33a1
4
4
④当a0时，x1x23a0，所以x10x20
2012广东高考数学理科试题信参考答案r