的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
4050506060707080809090100。
（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中
成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期
望。
解：（1）由题意：005400100063x101，
解得x0018；（2）8090分有500018109人；90100分有500006103人。
所有可能的取值为012
2012广东高考数学理科试题信参考答案第5页共10页
fP
0

C92C122

1222
P
1

C91C31C122

922
故E01219211。2222222
P
0
C32C122

122
18（本小题满分13分）
如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，
PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE
（1）证明：BD平面PAC
（2）若PA1AD2，求二面角BPCA的正切值。
（1）证明：∵PA平面ABCD，∴PABD；∵PC平面BDE，∴PCBD。
又PAPCP，∴BD平面PAC。
（2）解：设ACBD交于O，连结OE，由题PCBEPCOE，所以BEO即为二面角
BPCA的平面角。由（1）知，BDAC，所以四边形ABCD为正方形，易得OC1AC2PCPA2AC2183。
2由（1）知OECPAC90又OCEPCA，有OEC
PAC，
故OEOC，OEPAOC2。在RtBOE中，ta
BEOOB3。
PAPC
PC3
OE
所以二面角BPCA的正切值为3
19．（本小题满分14分）
设数列a
的前
项和为S
，满足2S
a
12
11
N，且a1a25a3成等差数列。
（1）求a1的值；
（2）求数列a
的通项公式；
（3）证明：对一切正整数
，有1113。
a1a2
a
2
解：（1）由题
2a1a22a1a2
22a3
1
23

1，解得

a1a2
15
，故a11
2a25a1a3
a319
2012广东高考数学理科试题信参考答案第6页共10页
f（2）当
1时，a11；
当
2时，2S
a
12
11①2S
1a
2
1②
由①②得：2a
a
1a
2
，整理得3a
a
12

a
113a
1，
2
1
22

故

a
2

1


2
为公比为
32
的等比数列，
首项为
a222
1
94
，故
a
2

1
94
3
22

3
2
，
a
3
2
，经验证当
1时，a1132
综上a
3
2
N。（3）当
3时
a
3
2
12
2
1C
12C
222

C
1


2
1

2


2

1C
12C
222C
12
1C
2222
1
又因为a252221，所以，a
2
1
2。
所以，11111a
2
12
1

所以，111a1a2a3
20（本小题满分14分）
1111111
a

2234
1111113

1

2
2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C
x2a2

y2b2
1a
b
0的离心率为e

2，且椭圆C上的点3
到Q02的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）r