20109
02102．
13分
19（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆C的焦距2c2，所以c1．因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b3c3，ab2c22．所以椭圆C的标准方程为
x2y21．43
4分
（Ⅱ）假设存在点T，使得PTN的平分线过PM中点．设Px0y0，Tt0，PM的中点为S．因为PMl于点M（M，N不重合），且PTN的平分线过S，PTSSTNPST所以．又因为S为PM的中点，
1PM．2122即x0ty00x04．2
所以PTPS因为点P在椭圆C上，所以y031
22x0，4
代入上式可得2x01tt10．
2
丰台区高三数学第二学期统一练习（二）（理科）第8页共10页
f因为对于任意的动点P，PTN的平分线都过S，所以此式对任意x022都成立．所以
1t0
2t10
，
解得t1．所以存在定点T，使得PTN的平分线过PM中点，此时定点T的坐标为10．14分
20（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为xx0．
l
ax1，xl
ax所以fx．x2
因为fx
1．a11当x0时，fx0，fx在0上单调递增；aa11当x时，fx0，fx在上单调递减．aa11所以当x时，fx最大值fa．6分aa（Ⅱ）当0b1时，方程l
x1bx有两解．8分l
x111，变形得1xl
，当x1等号成立．所以（Ⅲ）由（Ⅰ）得xx11l
2，2231l
，32
因为a0，所以当fx0时，x
1
k1kl
，kk11111l
k．10分234k
所以得到当kN且k2时，
由（Ⅰ）得
l
x11，变形得l
xx1，当x1等号成立．所以x
324l
35l
4l

31，241，351，4
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f
l

k1k11，kkk11111．2234k
所以得到当kN且k2时，l

又因为l

kk1l
，22k1111l
k．13分2234k
所以当kN且k2时，l

（若用其他方法解题，请酌情给分）
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