线与四边形ABCD有公共点，∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，∴a（3m）2（1am）3m0，整理得：am，即抛物线解析式为yxx，
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由A（2m，2m），可得直线OA解析式为yx，联立抛物线与直线OA解析式得：解得：x5m，y5m，即M（5m，5m），令5m10，即m2，当m2时，a；若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）（1am）2m2m，解得：am2，
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，
f∵m2，∴a1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1．点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．32．（12分）（2015孝感）在平面直角坐标系中，抛物线yxbxc与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线yx4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；②如图2，过点O，P的直线ykx交AC于点E，若PE：OE3：8，求k的值．
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考点：二次函数综合题．分析：（1）由直线的解析式yx4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y
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xbxc求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线ykx即可求出k的值．解答：解：（1）∵直线yx4经过A，C两点，∴A点坐标是（4，0），点C坐标是（0，4），又∵抛物线过A，C两点，∴，解得：，
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f∴抛物线的解析式为（2）①如图1∵，
．
∴抛物线的对称轴是直线x1．∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，∴PQ∥AO，PQAO4．∵P，Q都在抛物线上，∴P，Q关于直线x1对称，∴P点的横坐标是3，∴当x3时，∴P点的坐标是；，
②过P点作PF∥OC交AC于点F，∵PF∥OC，∴△PEF∽△OEC，∴又∵∴，．，
设点F（x，x4），∴
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，
化简得：x4x30r