2015年中考数学压轴题汇编(二)
31.(12分)(2015宜昌)如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐标系中两点,其中m为常数,且m>0,E(0,
)为y轴上一动点,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB2BC,画射线OA,把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′,连接ED′,抛物线yaxbx
(a≠0)过E,A′两点.(1)填空:∠AOB45°,用m表示点A′的坐标:A′(m,m);(2)当抛物线的顶点为A′,抛物线与线段AB交于点P,且时,△D′OE与△ABC是否
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相似?说明理由;(3)若E与原点O重合,抛物线与射线OA的另一个交点为点M,过M作MN⊥y轴,垂足为N:①求a,b,m满足的关系式;②当m为定值,抛物线与四边形ABCD有公共点,线段MN的最大值为10,请你探究a的取值范围.
考点:二次函数综合题.专题:综合题.分析:(1)由B与C的坐标求出OB与OC的长,根据OCOB表示出BC的长,由题意AB2BC,表示出AB,得到ABOB,即三角形AOB为等腰直角三角形,即可求出所求角的度数;由旋转的性质得:OD′D′A′m,即可确定出A′坐标;
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(2)△D′OE∽△ABC,理由如下:根据题意表示出A与B的坐标,由
,表示出
P坐标,由抛物线的顶点为A′,表示出抛物线解析式,把点E坐标代入整理得到m与
的关系式,利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证;2(3)①当E与原点重合时,把A与E坐标代入yaxbxc,整理即可得到a,b,m的关系式;②抛物线与四边形ABCD有公共点,可得出抛物线过点C时的开口最大,过点A时的开口最小,分两种情况考虑:若抛物线过点C(3m,0),此时MN的最大值为10,求出此时a的值;若抛物线过点A(2m,2m),求出此时a的值,即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围.
f解答:解:(1)∵B(2m,0),C(3m,0),∴OB2m,OC3m,即BCm,∵AB2BC,∴AB2m0B,∵∠ABO90°,∴△ABO为等腰直角三角形,∴∠AOB45°,由旋转的性质得:OD′D′A′m,即A′(m,m);故答案为:45;m,m;(2)△D′OE∽△ABC,理由如下:由已知得:A(2m,2m),B(2m,0),∵,
∴P(2m,m),∵A′为抛物线的顶点,∴设抛物线解析式为ya(xm)m,∵抛物线过点E(0,
),2∴
a(0m)m,即m2
,∴OE:OD′BC:AB1:2,∵∠EOD′∠ABC90°,∴△D′OE∽△ABC;(3)①当点E与点O重合时,E(0,0),2∵抛物线yaxbxc过点E,A,∴,
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整理得:amb1,即b1am;②∵抛物r