最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
◆一、直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1371531………2、125812………
3、212121………3253
4、1111………5、1、0、1、0………
◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前

项和
S

与
a

的关系，求数列a
的通项a

可用公式a


S1S

S
1

1
2
求解
注意：求完后一定要考虑合并通项
例2．①已知数列a
的前
项和S
满足S
2a
1
1．求数列a
的通项公式
②已知数列a
的前
项和S
满足S
2
1，求数列a
的通项公式
③已知等比数列a
的首项a11，公比0q1，设数列b
的通项为b
a
1a
2，求数列
b
的通项公式。
③解析：由题意，b
1a
2a
3，又a
是等比数列，公比为q
∴b
1
b


a
2a
3a
1a
2
q，故数列
b

是等比数列，b1a2a3a1qa1q2qq1，
∴b
qq1q
1q
q1
◆三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3（2002年北京春季高考）已知点的序列A
x
0
N，其中x10，x2aa0，A3是线
段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，A
是线段A
2A
1的中点，…
（1）写出x
与x
1x
2之间的关系式（
3）。
最全的数列通项公式的求法1
f（2）设a
x
1x
，计算a1a2a3，由此推测a
的通项公式，并加以证明。
（3）略
解析：（1）∵
A
是线段A
2A
3的中点，
∴x


x
1
x
22

3
（2）a1x2x1a0a，
a2

x3

x2

x2
2
x1

x2
12

x2

x1

1a，2
a3

x4

x3

x3
2
x2

x3
12x3

x2

1a，4
猜想a


1
1a
N，下面用数学归纳法证明2
10当
1时，a1a显然成立；
20
假设
k时命题成立，即ak
1k1akN2
则
k1时，ak1
xk2
xk1

xk1xk2

xk


12
xk1

xk



12
ak
11k1a1ka
22
2
∴当
k1时命题也成立，
∴命题对任意
N都成立。
变式（2006，全国II理22本小题满分12分）
设数列｛a
｝的前
项和为S
，且方程x2－a
x－a
＝0有一根为S
－1，
＝1，2，3，…
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）｛a
｝的通项公r