0
3
0

。
201
解：由A2BABE，得A2EBAE，即
AEAEBAE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
202
由于
A
E


0
4
0

，
A
E
32
0，
202
002
A

E


02
20
00

，
A
E
8
0，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
分
0021001
B
AE1AE1AEAE1


0
2
20
0

0

12

01
10
0

，．．．．8
分
0
所以B18。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
111
13．已知
A


0
1
1

，且满足
A2

AB

E
，其中
E
为单位矩阵，求矩阵
B
。
001
8
f线性代数期末试卷
共10页第9页
111解：因为A01110，所以A可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
001
由A2ABE，得A2EAB，故A1A2EA1AB，即AA1B，．．．．4分
不难求出
112
A1


0
1
1

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
分
001
111112021
因此
B

A
A1


0
1
1



0
1
1



0
0
0

。．．．．．．．．．．．．．．．10分
001001000

14．
取何值时，线性方程组

2x1x2x31x1x2x32
无解，有唯一解或有无穷多解？当
4x15x25x31
有无穷多解时，求通解。
解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式
21
A11524154；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
455

2

45
1
1

10
45
5
1当



45
时，有

Ab



54

4
15
15
2

1
r

40
50
5
10

，
09
RA2RAb3，原方程组无解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
211103331001
2当


1
时，有

A
b



1
1
1
2

r

1
1
1
2

r

0
1
1
1，
455109990000
x101
所以原方程的通解为

x2



1

k


1

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
x310
3当14时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分5
15设1042211032434111，求该向量组的秩和一个
极大无关组。解：
9
f线性代数期末试卷
共10页第10页
102110211021
A

T2
1T

T3

T4


1
4
4
023
11



00
42
63
21



00
40
60
20

．6分
所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．r