．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为任意两个向量均不成比例，
所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
四、解答题（10分）
得分16．已知三阶方阵A的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1，2，
3。其中：1111T，2124T，3139T，113T。
（1）将向量用1，2，3线性表示；（2）求A
，
为自然数。解：（1）把用123线性表示，即求解方程
x11x22x33
111111111002
11
24
39
13

r

00
10
21
01

r

00
10
01
21

故21223。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）A
A
212232A
12A
2A
3
22
13


21
1

22
2

3
3

21

2
12

3
3


2

2
2

3
1

．．．．．．．．．．10
分
22
33
2
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A是
阶方阵，且RARAE
，AE；证明：Ax0有非零解。
证明：AEAE0RAE1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
RARAE
RA
RAE
1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以Ax0有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分18．已知向量组I123的秩为3，向量组II1234的秩为3，向量组III1235的秩为4，证明向量组12354的秩为4。证明：向量组123的秩为3，向量组1234的秩为3，所以123为向量组1234的一个极大无关组，因此4可唯一的由123线性表示；．．．．2分假设向量组12354的秩不为4，又因为向量组123的秩为3，所以向量组12354的秩为3，因此54也可唯一的由123线性表示；．．．4分因此5可唯一的由123线性表示，而向量组1235的秩为4，即1235线性无关，因此5不能由123线性表示，矛盾，因此向量组12354的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
10
fr