讲义：数列通项公式求法
【常规类型】
类型1
a
1a
f
，叠加法
适用于a
1a
f
，分别展开得：
a2a1f1a3a2f2a4a3f3a
1a
2f
2a
a
1f
1
各式相加得：a
a1f1f2f
1，因此只需f
可以求和那么就可以求出a
。
例题分析：
1数列a
满足a
1a
1，a11解：a2a12，a3a23，a4a34，a
a
1
，
a
12

12
类型2
适用于
a
1a

a
1f
a
，叠乘法
f
，展开得：
a2a1
f1
a3a2
f2
a4a3
f3
a
1a
2
f
2
a
a
1
f
1，
各式相乘得：
a
a1
f1f2f
1，因此只需f
可求积就可以求出通项公式a
。
例题分析：1已知数列a
满足a

1
a
1，a11，求a

f解：
a2a1

a
1a32a3
142a23a34a
1
1
a
1


a
a1

123
123

类型3
a
pa
1q
（其中p，q均为常数）
q1p
待定系数法：把原递推公式转化为：a
ABa
1A，其中A利用换元法转化为等比数列求解。
，Bp，再
例题分析：1已知数列a
中，a11，a
12a
3，求a
解：a
A2a
1AA3a
3为等比数列
a
3a132
1
，
2

1
a
2

1
3
类型4
a
1pa
q（其中p，q均为常数）（或a
1pa
rq


其中p，qr均为常数）
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q
1
，得：
a
1q
1

pq

a
q


1q
引入辅助数列
b
（其中b
例题分析：

a
q

），得：b
1
pq
b

1q
再用待定系数法解决。
1已知a
满足a
1
12
12
a
2

1
a11求a

解：由a
1
a
2

1
得
a
12
1

a1，
为等差数列，
22
a


f
a
2


a12

1）1
（
12
，a

1
12
2


2已知a
满足a
1a
2解：由a
1a
2
b
121
1
a15求a
a1a
1
1，令b
，则b
1b
1，
2222
得
a
12
1

1
111
11
b
2r