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常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
【典型例题】例1a
1ka
b型。
（1）k1时，a
1a
ba
是等差数列，a
b
a1b
（2）k1时，设a
1mka
m∴a
1ka
kmm
比较系数：kmmb
mb∴k1
∴
a


k
b1是等比数列，公比为
k
，首项为
a1

k
b1
∴
a


bk1

a1

bk
1k1
∴
a


a1

k
b1

k

1

k
b1
例2a
1ka
f
型。
（1）k1时，a
1a
f
，若f
可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知a
满足a1
1，a
1
a


1
1
求a
的通项公式。
解：
∵
a
1a

111
1
1
∴
a


a
1

1
1

1

a
1
a
2

1
2

1
1
a
2
a
3

1
3

1
2
……
a3
a2

12

13
a2

a1
1
12
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1对这（
1）个式子求和得：a
a11

1
∴
a

2

（2）k1时，当f
a
b则可设a
1A
1Bka
A
B
∴a
1ka
k1A
k1BA
k1Aa∴k1BAb
解得：
A

k
a1
，
B

k
b1

k
a12
∴a
A
B是以a1AB为首项，k为公比的等比数列
∴a
A
Ba1ABk
1
∴a
a1ABk
1A
B将A、B代入即可
（3）f
q
（q0，1）
a
1等式两边同时除以q
1得q
1

ka
qq

1q
C
令

a
q

k1
C
1
则

q
C


q
∴C
可归为a
1ka
b型
例3a
1f
a
型。（1）若f
是常数时，可归为等比数列。
（2）若f
可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：a1

13，a


2
12
1a
1（


2）求数列a
的通项。
a
a
1a
2a3a22
12
32
5533解：a
1a
2a
3a2a12
12
12
3752
1
∴
a


a1

32
1

12
1
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例4
a


k
ma
1ma
1
型。
1k11
考虑函数倒数关系有a

a
1m
1
1k
k
∴a

a
1m
C
令

1a

则C
可归为a
1ka
b型。
练习：
1已知a
满足a13，a
12a
1求通项公式。
解：
设a
1m2a
ma
12a
m∴m1
∴a
11是以4为首项，2为公比为等比数列
∴a
142
1
∴a
2
r