f
t

dt


2

0x
f
tdt

x
0
f
u

2
du


2
x0
f
tdt

x
0
f
u
du


0
∴函数Gx是以2为周期的周期函数
19（本题满分10分）
将函数
f
x
1
x2
0

x


展开成余弦级数，并求级数

1
1
1
2
的和
第10页共15页
f【考点】函数的傅里叶系数、函数的傅里叶级数【难易度】★★★★【详解】
解析：由fx为偶函数，则b
0
12L
对
12L
a


2
0
f
xcos
xdx

2

0
cos
xdx
0
x2
cos

xdx

2
0

0
x2
cos

xdx

2

x2
si


x
0

2xsi
x
0


dx
221
141
1


2

2
a0

2
1x2dx212
0
3
所以
1x2a02

a
cos
x
1
1
23


1
41
1
2
cos
x
取x0，得
11
23


1
41
1
2
所以
1
12

2
1
12
20（本题满分11分）
设是3维列向量，矩阵ATT，其中T，T分别是的转置
证明：（1）秩rA2；（2）若线性相关，则rA2
【考点】矩阵的秩、向量组的线性相关的概念【难易度】★★★【详解】
证明：（1）因为为三维列向量，故rT1，rT1
rArTTrTrT2
（2）由线性相关，不妨设k，
第11页共15页
f于是rArTkkTr1k2TrT12
（21）（本题满分11分）
2a1

设


元线性方程组
Ax

b
，其中
A


a
2
2a
O
OO

1
，xx1Lx
T，

a2
2a


b10L0T
（1）证明行列式A
1a
；
（2）当a为何值时，该方程组有唯一解，求x1；
（3）当a为何值时，该方程组有无穷多解，求通解
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定【难易度】★★★【详解】
2a1
a22a1
解析：（1）证明：消元法．记A
a22a1OOO
a22a1
a22a

2a1
2a1
3
0a1
2
r2

12
ar1
a22a1OOO
03a12
2r33ar2
04a13a22a1
a22a1a22a

OOOa22a1a22a

LL
第12页共15页
f2a1
03a12

1r
ar
1
40a1
3OOO

1a
．
0
a1
1

1
0
a


（2）由克莱姆法则，A0时方程组有唯一解，故a0时方程组有唯一解
由克莱姆法则，将D
得第一列换成b，得行列式为
11
2a1
02a1
a22a1
a22a1OOO
a22a1
OOO
D
1
a
1
a22a1
a22a1
a22a

a22a
1
所以，x1

D
1D


a
1a
．
01

01
（3）当a0时，方程组为
0O

O

x11

x2


0

MM
1


x
1


0

0x
0
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为
1，所以方程组有无穷多组解，其通解为
x010L0Tk100L0T，其中k为任意常数．
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为PXi1i101，Y的概率密度
3
为
fY
r