002
2
故
si
2xdx2x2
1ydy

2
L
2
17（本题满分10分）
已知曲线C
x2

y2

2z2

0，求C
上距离
xOy
面最远的点和最近的点
xy3z5
【考点】点到平面的距离，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值。【难易度】★★★★【详解】
解析：方法一：点xyz到xoy面的距离为z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的
点的坐标等价于求函数Hz2在条件x2y22z20，xy3z5下的最大值点和最
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f小值点．构造拉格朗日函数
Lxyzz2x2y22z2xy3z5，
Lx2x20
由

LyLz

2y2z
4z

03

0

x
2

y2

2z2

0
xy3z5
得xy，
从而
2x2

2z2

0
解得
x

y

55或
x

y
11
2x3z5
z5z1
根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为
555和111．
方法二：点xyz到xoy面的距离为z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的坐
标等价于求函数Hx2y2在条件x2y22xy520下的最大值点和最小值点．3
构造拉格朗日函数
Lxyzx2y2x2y22xy52，3
Lx

2x



2x

49
x

y

5


0
由

Ly


2y



2
y

49
x

y

5


0
x2

y2

2

x

y3
5
2

0
得xy，从而2x222x520．9
解得
x5x1

y

5
或

y
1
z5z1
根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为
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f555和111．
18（本题满分10分）
设fx是连续函数，
（Ⅰ）利用定义证明函数
F
x

x
0
f
tdt
可导，且
Fx

f
x
；
（Ⅱ）当fx是以2为周期的周期函数时，证明函数Gx2xftdtx2ftdt也
0
0
是以2为周期的周期函数
【考点】导数的概念，积分上限的函数及其导数，函数的周期性
【难易度】★★★★
【证明】
解析：1设x获得增量x，其绝对值足够小，使得xxab，则Fx在xx处
xx
的函数值为：Fxxftdt0
由此得函数的增量
xx
x
FFxxFx0ftdt0ftdt
x
xx
x
xx
0ftdtxftdt0ftdtxftdt
再应用积分中值定理，即有等式Ffx
这里，在x与xx之间，把上式两端各除以x，得函数增量与自变量的比Ffx
由于假设fx连续，而x0时，x，因此limffx。于是，令x0Vx0
对上式两端取极限，左端的极限也应该等于fx，故Fx的导函数存在，并且
Fxfx
2
∵Gx2Gx

x2
20
f

t

dt


x

2
2
0
f
tdt
x
20
f
tdt

2
x0
f
tdt
2
x2ftdt2
x
20
f
tdt

2

0ftdt
x
x22
r