2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
x2
（1）设函数fxl
2tdt，则fx的零点个数为（）0
A0
B1
C2
D3
【答案】B
【考点】积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】
解析：fxl
2x22x2xl
2x2，又因为l
2x20，所以fx只有一个
零点
（2）函数fxyarcta
x在点01处的梯度等于（）y
Ai
Bi
Cj
Dj
【答案】A
【考点】梯度【难易度】★★【详解】
解析：由
1
1
fx

1
y

x2y2

yx2y2
y2

y
x2y2
1fx0111
x
fy

1
y
2
x2y2

xx2y
2

fy010
所以gradf011i0ji
（3）在下列微分方程中，以yC1exC2cos2xC3si
2x（C1C2C3为任意常数）为
通解的是（）
Ayy4y4y0
Byy4y4y0
Cyy4y4y0
Dyy4y4y0
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f【答案】D
【考点】线性微分方程解的性质及解的结构定理【难易度】★★【详解】
解析：由yC1exC2cos2xC3si
2x可知其特征根为11232i
故对应的特征方程为12i2i1240，即32440
所以所求微分方程为yy4y4y0选D
（4）设函数fx在内单调有界，x
为数列，下列命题正确的是（）
A若x
收敛，则fx
收敛
B若x
单调，则fx
收敛
C若fx
收敛，则x
收敛
D若fx
单调，则x
收敛
【答案】B
【考点】单调有界准则【难易度】★★【详解】
解析：若x
单调，则由fx在内单调有界知，fx
单调有界，
因此fx
收敛应选B
（5）设A为
阶非零矩阵，E为
阶单位矩阵，满足A30，则（）
AEA不可逆，EA不可逆
BEA不可逆，EA可逆
CEA可逆，EA可逆
DEA可逆，EA不可逆
【答案】C
【考点】逆矩阵的概念【难易度】★★【详解】
解析：EAEAA2EA3E，EAEAA2EA3E
故EAEA均可逆
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fx
（6）设
A
为
3
阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

x
y
z
A

y


1
在正交变换下的标准方
z
程的图形如下图，则A的正特征值个数为（）
A0
B1
C2
D3
zy
0
x
【答案】B
【考点】二次型的标准型，常见的二次曲面方程及其图形【难易度】★★★【详解】
解析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程为x2a2

y2z2c2

1
二次型
xa
22

y2z2c2
的特征值为
1a2
，
1c2
，
1c2
，故
A的正特征值个数为
1
（7）设随机变量XY独立同分r