数学奥林匹克初中训练题七
第一试一、选择题每小题7分共42分
1设ab是实数且111则1b等于1a1bba1a
15
A
B15
C35
35
D
2
2
2
2
2适合于y2x2yx20的非负整数对
xy的个数是
A1B2C3D43如图1凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙
OABCD是矩形AEED且BE和CE把AD三等分则此五边形ABCDE的面积是
3
A
3
B
C3
53
D
3
2
4
4若关于x的不等式xax3的解中包含了”xa”则实数a的取值范围
是Aa3Ba1或a3Ca1或a3Da2或a3
5如图2在ΔABC中M是边AB的中点N是边AC
上的点且AN2CM与BN相交于点K若ΔBCKNC
的面积等于1则ΔABC的面积等于
10
13
A3B
C4D
3
3
6设abc为实数且a0抛物线yax2bxc
与x轴交于AB两点与y轴交于点C且抛物线的顶点在直线y1上若ΔABC
是直角三角形则RtΔABC面积的最大值是
A1B3C2D3
二、填空题每小题7分共28分
1设x是实数则函数yx1x2x3的最小值是

f2方程x2axb0的两根为x1x2且x13x23x12x22x1x2则有序实数
组ab共有
个
3若abac则abc

bccaab2c
4如图3正ΔEFG内接于正方形ABCD其中EFG分别在
边ABADBC上若AE2则BG

EB
BC
第二试
一、20分如图4在锐角ΔABC内有一点P直线APBPCP分别交对边于Q1Q2Q3且∠PQ1C∠PQ2A∠PQ3B试问点P是否必为ΔABC的垂心如果是请证明如果不是请举反例说明
二、25分设p为素数k是正整数求证方程x2pxkp10至少有一个整数根的充分必要条件是k1
三、25分是否存在这样的正整数
使得3
27
1能整除
3
2
1请说明
理由。
fffr