数学奥林匹克高中训练题（10）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．训练题15正方体表面正方形的对角线中存在异面直线，如果其中两条异面直线距离是1，那么，正方形的体积C．
A1B33
C1或33
D33或32
2．训练题15设有长度为a1a2a3a4a5的五条线段，其中任何三条线段都能组成一个三角形，共组
成了10个三角形，这些三角形中A．A必有一个锐角三角形B必有一个直角三角形C不可能有锐角三角形D是否存在锐角三角形与已知线段长有关
3．训练题15在锐角ABC中，ABC为其内角，设Tcot2Acot2Bcot2C，则一定
有C．
AT0
BT0
CT0
DT0
4．训练题15C为复数集，设Azz181zC，B181C，DzzAB．则
D中的元素的个数为D个．
A864
B432
C288
D144
5．训练题15已知正数abc，满足abbccd1995，则abbcca的最小值为B．cab
A1995
B3665
C2665
D665
6．训练题15已知函数fx在0上有定义且为增函数，并满足fxffx11．则f1D．x
A1
B0
C15
D15
2
2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．训练题15已知抛物线方程yxhh0，点P24在抛物线上，直线AB在y轴上的截距2
大于0，且与抛物线交于AB两点，直线PA与PB的倾斜角互补，则PAB的面积的最大值是
643．9
2．训练题15设p是一个素数，p4的各正约数之和是一个完全平方数，则pp3
．
f3．训练题15方程acosx1bcosx2ccosx30在开区间0内至少有两个根，则
此方程的所有根为
一切实数．
4．训练题15设
x1
x2
是实系数方程
x2

2kx

4

0的两个非零实根，且满足
x1x2
2


x2x1
2

7
，则
k取值范围是k5或k5
．
5．训练题15设多项式px的次数不超过3次，且p01p30p2xp2x．若px
的首项系数为负数，则px
1x1x2x3
．
6
6．训练题15在一次网球比赛中，
个女子和2
个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比
赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则

3
．
第二试
一、训练题15本题满分25分求所有的
a
的值，
a


2

2

，使方程组


yarcsi
si
1x
yta
x110

，
在x1的条件下恰有10个解．10
二、训练题15本题满分25分已知
A


均为自然数r