的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求AB均在线段MN上,CD均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.
(1)用分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定si
的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
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f4.【答案】(1)
14
1
;(2)当
π6
时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
【解析】
(1)连结PO并延长交MN于H,则PHMN,所以OH10.过O作OEBC于E,则OE∥MN,所以COE,故OE40cos,EC40si
,
则矩形ABCD的面积为240cos40si
108004si
coscos,
△CDP的面积为1240cos4040si
1600cossi
cos.
2过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GKKN10.
令GOK
0
,则si
0
14
,0
0
π6
.
当
0
π2
时,才能作出满足条件的矩形
ABCD
,
所以
si
的取值范围是
14
1
.
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43,
设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3kk0,
则年总产值为
4k8004si
coscos3k1600cossi
cos
8000k
si
cos
cos
,
0
π2
.
设f
si
cos
cos
,
0
π2
,
则fcos2si
2si
2si
2si
12si
1si
1.
令
f
0
,得
π6
,当
0
π6
时,
f
0
,所以
f
为增函数;
当
π6
π2
时,
f
0
,所以
f
为减函数,
因此,当π时,f取到最大值.
6
5.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P
(3,4).55(Ⅰ)求si
(απ)的值;
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f(Ⅱ)若角β满足si
(αβ)5,求cosβ的值.13
5答案:(1)4;(2)56或16
5
6565
解答:(1)si
si
45
4
15
(2)∵,∴coscos,
∵si
5,∴cos12,
13
13
又∵si
4,且终边在第三象限,∴cos3
5
5
①当cos12时,13
coscoscossi
si
12354362056
135135
65
65
②当cos12时,13
coscoscossi
si
123541613513565
6(2018天津文)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为abc.已知bsi
AacosBπ.6
(Ⅰ)求教B的大小;
(Ⅱ)设a2r