⑵知b
a
1，……………………10分
若三个不同的项aiajak成等比数列，i、j、k为非负整数，且ijk，则
ai2ajak，得aik2jj2ik，
……………………12分
2若ik2j0，则jik0，得ijk，这与ijk矛盾。……………………14分
j2ik若ik2j≠0，则a，∵i、j、k为非负整数，∴a是有理数。……………ik2j
19．已知圆O：x2y21，O为坐标原点．（1）边长为2的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．①求轨迹E的方程；②过轨迹E上一定点Px0y0作相互垂直的两条直线l1l2，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l1被圆O截得的弦长为a，设l2被轨迹E截得的弦长为b，求ab的最大值．（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．19．解：（1）①连结OB，OA，因为OAOB1，AB2，所以OA2OB2AB2，所以∠OBAB1A1yCD
1
O
x
1
π3π，所以∠OBC，在OBC中，OC2OB2BC22OBBC5，2分44所以轨迹E是以O为圆心，5为半径的圆，
所以轨迹E的方程为x2y25；②设点O到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，因为l1⊥l2，所以d12d22OP2x02y025，……………5分………………………3分
则ab21d125d2，
22
则ab246d1d221d15d2
2222

6d1d222≤46d1d222412108，
2
2
224122d1d2……………8分
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29d22dd25当且仅当，即时取“”，221d15d2d2112所以ab的最大值为22；……………9分aπ（2）设正方形边长为a，∠OBAθ，则cosθ，θ∈0．22yC当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在OBC中，πa212acosθOC2，22B1即OC2cosθ122cosθsi
θ4cos2θ12si
2θ
D
π2cos2θ2si
2θ322si
2θ3，4ππ5π由2θ∈，此时OC∈121；…………12分444当A、B、C、D按逆时针方向时，在OBC中，πa212acosθOC2，2
即OC2cosθ2122cosθsi
θ4cos2θ12si
2θ
θ
1
O
A1
xy1B
1
C
θ
OD1A
x
1
π2cos2θ2si
2θ322si
2θ3，4ππ3π由2θ∈，此时OC∈215，………15分444
综上所述，线段OC长度的最小值为21，最大r