2018年清华等五校（华约）自主招生试题通用基础测试
数学
一、选择题
1．若
P
为
ABC
内部任一点（不包括边界），且
uuuvPB

uuuvuuuvPAPB

uuuvPA

uuuv2PC

0
，则
ABC
必
为（）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰
三角形
2．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点
P在圆锥底面内（包括圆周）．若MAMP，则P点形成的轨迹的长度为（）
A．7
B．72
C．3
D．32
3．某种型号的计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数
时按下这个按键，
会等可能的将其替换为012L
1中的任意一个数．如果初始时显示2011，反复按这个按键
使得最终显示0，那么这个过程中，999999都出现的概率是（）
A．1104
B．1105
C．1106
D．1107
4．已知R，直线
x
si
si

si

ycos
1与cos
xsi


y
coscos
1的
交点在直线yx上，则si
cossi
cos（）
A．0
B．1
C．1
D．2
5．若正整数集合Ak的最小元素为1，最元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个
公差为k的等差数列，则并集A17UA59中的元素个数为
A．119
B．120
C．151
6．三角式
cos
10ocos1o

1cos1ocos
2o
L

cos
188ocos
89o
化简为
A．cot1ocsc1o
B．ta
1ocsc1o
C．cot1osec1o
D．154D．ta
1osec1o
7．设k3，k≠0，则二次曲线x2y21与x2y21必有
3kk
52
（A）不同的顶点（C）相同的焦点
（B）不同的准线（D）相同的离心率
1
f8．若P为椭圆x2y21在第一象限上的动点，过点P引圆x2＋y29的两条切线PA、169
PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则SMON的最小值为（）
A．92
B．932
C．274
D．2734
9．设x1、x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c0的根，若x1是虚数，x12是实数，则x2
S
1
x1x2


x1x2
2


x1x2
4


x1x2
8
L


x1x2
2007
的值为
A．0
B．1003
C．1004
D．1004
10．函数fRR，对任意的实数x、y，只要xy≠0，就有f（xy）fxfy成立，xy
则函数f（x）（x∈R）的奇偶性为
A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
二、解答题
11．系统内有2k1（k∈N）个元件，每个元件正常工作的概率为p（0p1），若有超
过一半的元件正常工作，则系统正常工作．求系统正常工作的概率p并讨论pk的单调性．
12．已知
x2f
x1x2L
x
（
N），求证：当
为偶数时，方程

f
x0
无解；当
为奇数时，方程f
x0有唯一解x
，且x
2x
．
2
r