2014年华约自主招生数学试题
1x1x2x3x4x5是正整数任取四个其和组成的集合为44454647求这五个数
12乒乓球比赛五局三胜制任一局甲胜的概率是pp甲赢得比赛的概率是q求p为2多少时qp取得最大值
3函数fx
2cosxsi
xsi
x2asi
xba0的最大值为1最小值为4求24
ab的值
41证明yfgx的反函数为yg1f1x2FxfxGxf1x若Gx的反函数是Fx证明fx为奇函数
2014年华约自主招生数学试题－1
fx2y221与圆x2y2b2过椭圆上一点M作圆的两切线切点分别为PQ2ab直线PQ与xy轴分别交于点EF求SEOF的最小值
5已知椭圆
6已知数列a
满足a10a
1
p
qa
1若q1求a
2若p1q1求证数列
a
有界
x7已知
Nx
求证
1
exx2

2014年华约自主招生数学试题－2
f华约参考答案1【解】五个数任取四个应该可以得到C545个不同的和现条件中只有4个不同的和故必有两个和值相同而这五个和值之和为4x1x2x3x4x5是4的倍数所以这个相同
444546464757故这五个数4分别为574413574512574611574710574611即10111112132【解】若共比赛了3局则甲赢得比赛的概率为p3
的和值只可能是46从而有x1x2x3x4x5若共赛了4局则最后一局甲胜甲赢得比赛的概率为C32p31p若共比赛了5局则最后一局甲胜甲赢比赛的概率为C42p31p2因此
32qp3C32p1pC4p13p2
所以qpp3C32p31pC42p31p2p6p515p410p3pp
12
1则fp30p460p330p2121即fp30p460p330p2130p2p22p130111所以fp30p2p1230p2pp2p30303011又因为p1所以p2p故p2p0230
设fp6p515p410p3pp所以令fp0时即p2p
130
11
0得p
430
2

1112430
1111又因为p1所以取p24230
1111111时fp0p1时fp0易知当p224243030
所以当p
111时fp有唯一极大值也是最大值2430
3【解】易知fxcos2xsi
2x2asi
xbsi
2x2asi
xb则问题等价于gtr