2018年上海交通大学自主招生考试数学试题
一、填空题（每题5分，共50分）
1．已知方程
x2

px

12p2
0（
pR
）的两根
x1
x2
满足
x14

x24

2
2，则p
．
2．设
si
8
x

cos8
x

41128

x


0
2

，则
x
．
3．已知



Z

且
1
1

1


1
12004
2004

，则


．
4．如图，将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接
在一个边长为62的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体
的体积为
．
第4题图
5．已知2333x3yxyQ则（x，y）．
6．化简：224262821
12
2
．
7．若z3＝1，且zC，则z3＋2z2＋2z20
．
8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离
为．
9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为，恰好只有一封信装
错的率为．
10．已知等差数列｛a
｝中，a3＋a7a11a1944，则a5a9a16＝
．
1
f二、解答题（本大题共50分）1．已知方程x3ax2bx＋c＝0的三根分别为a、b、c，且a、b、c是不全为零的有理数，求a、b、c的值．2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得（l）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．
3．已知函数yax28xb的最大值为9，最小值为1．求实数a、b的值。x21
4．已知月利率为y，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于y的函数关系式（假设贷款时间为2年）．
5．对于数列a
1，3，3，3，5，5，5，5，5，，即正奇数k有k个是否存在整数
r，s，t，使得对于任意正整数
，都有a
r
st恒成立（x表示不超过x的最大
整数）
2
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