大，∴当直线l经过可行域的顶点B时，f39ac取得最大值解方程组
ac4
，得B37
4ac5
∴f3max9×3720当直线l向上平移时，所对应的f39ac的函数值随之减小，
ac1
∴当直线l经过可行域的顶点A时，f39ac取得最小值解方程组
，
4ac1
得A01∴f3mi
9×011∴f3的取值范围为［120］
变式应用22012抚州市统考已知fx4a3xb2ax∈［01］若fx≤2恒成立，求tab的最
大值
f0b2a≤2
［解析］函数fx类似一次函数，由此可得，
，
f1b2a12≤2
b≤2a2
即
，
b≤2a14
作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线l0ab0当直线l0向下平移时，所对应的tab的值随之减小，当直线l0向上平移时，所对应的tab的值随之增大所以当直线经过可行域的顶点M时，tab取得最大值，又M3，8，所以tmax3811所以tab的最大值是11
探索延拓创新
命题方向求非线性目标函数的最值问题xy2≥0
［例3］已知xy4≥0，求：
f2xy5≤0（1）zx2y210y25的最小值；
（2）z2y1的范围x1
［分析］（1）其中zx2y210y25x02y52的几何意义为平面区域内的点（xy）到（0，5）
距离的平方；（2）z
2y
1
2
y


12
的几何意义为平面区域内的点（xy）与（－1
1
）连线斜率的
x1
x1
2
2倍关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解［解析］（1）作出可行域如图
A13B31C791zx2y52表示可行域内任一点（xy）到点M（0，5）的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故
｜MN｜＝052
3
3

2

11222
MN29所以zx2y210y25的最小值为9
2
2
2z2
y


12
表示可行域内点（xy）与定点
Q
1
1
连线斜率的
2
倍．
x1
2
∵kQA
74
kQB
38
，故
z
的范围是［
34

72
］
［说明］1对形如zxa2yb2型的目标函数均可化为求可行域内的点（xy）与点（ab）间的
距离的平方最值问题．
2对形如zaybcxd
ac≠0型的目标函数，可先变形为
z
ac

yx


bad
的形式，将问题转化为求可
c
行域内的点xy与
d

b

连线斜率的a
倍的范围、最值等．注意斜率不存在的情况
ca
c
y≥0
f变式应用3已知实数xy满足不等式组［解析］作出可行域如图所示
xy≥0，求ωy1的取值范围x1
2xy2≥0
因为y1表示可行域中的点（xy）与点（－11）连线的斜率显然可行域内A点与点11连线斜率x1
最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于
1，所以
kr