第3课时等比数列的前
项和
知能目标解读
1掌握等比数列的前
项和公式的推导方法错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前
项和2掌握等比数列前
项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前
项的问题在应用时，特别要注意q1和q≠1这两种情况
3能够利用等比数列的前
项和公式解决有关的实际应用问题
重点难点点拨
重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前
项和公式解决有关问题难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前
项和的公式及公式的灵活运用
学习方法指导
1等比数列的前
项和公式
（1）设等比数列a
，其首项为a1，公比为q，则其前
项和公式为

a1
q1
S


a11q
q≠11q
也就是说，公比为q的等比数列的前
项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q1处
因此，使用等比数列的前
项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q1和q≠1进行讨论
（2）等比数列a
中，当已知
a1qq≠1，

时，用公式
S

a11q
1q
，当已知
a1qq≠1，a
时，用公
式
S

a1a
q1q

2等比数列前
项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导1合比定理法
由等比数列的定义知：a2a3…a
q
a1a2
a
1
当
q≠1
时，
a2a3a
a1a2a
1
q即
S
S

a1a

q
故
S

a1a
q1q

a11q
1q


当q1时，S
a1
2拆项法
S
a1a1qa1q2…a1q
1a1qa1a1q…a1q
2a1qS
1a1qS
a

当
q≠1
时，S

a1a
q1q

a11q
1q


当q1时，S
a1
f3利用关系式S
S
1a
≥2
∵当
≥2时，S
a1a2a3…a
a1qa1a2…a
1a1qS
1
∴S
a1qS
a

即1qS
a11q

当
q≠1
时，有
S

a11q
1q


当q1时，S
a1注意：
1错位相减法，合比定理法，拆项法及a
与S
的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧2错位相减法适用于a
为等差数列，b
为等比数列，求a
b
的前
项和3等比数列前
项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1q
a
S
由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q1和q≠1的讨论4等比数列前
项和公式与函数的关系
1当公比
q≠1
时，令
Aa11q
，则等比数列的前


项和公式可写成
S
Aq
A
的形式由此可r