50
分
证法二：对任意正整数t，令mktlk2我们证明Cmkl1
设p是l的任一素因子，只要证明：pCmk
k
k
k
若pk，则由kCmkmkiitlk2ikmodp
i1
i1
i1
即p不整除上式，故p
C
km

若pk，设1使pk，但p1kp1lk2故由
k1
k
k
kCmkmkiitlk2ikmodp1
i1
i1
i1
及
p

k，且
p1

C
km
k，知
p

kCmk
且
p1

C
km
kCmk
从而
p

C
km
Cmk
50
分
2009四、（本题满分50分）在非负数构成的39数表x11x12x13x14x15x16x17x18x19
Px21x22x23x24x25x26x27x28x29x31x32x33x34x35x36x37x38x39
中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17x28x390，x27x37x18x38x19x29
x11x12x13均大于1。如果P的前三列构成的数表Sx21x22x23满足如下性质（O）：对于数表P中任
x31x32x33
2009年全国高中数学联合竞赛试题第9页共11页
fx1k意一列x2k
（k
129）均存在某个i123使得⑶x1k
ui

mi
xi1xi2x13。求证：
x3k
⑴最小值uimi
xi1xi2x13，i123一定来自数表S的不同列；
x1k
x11x12x1k
⑵存在数表P
中唯一的一列

x2k
x3k

，k
123
，使得33数表S

x21

x31
x22x32
x2kx3k

仍然具有
性质（O）。
★证明：（i）假设最小值uimi
xi1xi2xi3i123不是取自数表S的不同列。则存在一列不含
任何ui不妨设uixi2i123由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是
uixi2i123另一方面，由于数表S具有性质（），在（3）中取k2，则存在某个i0123
使得xi02ui0矛盾。
ii由抽屉原理知mi
x11x12mi
x21x22mi
x31x32
中至少有两个值取在同一列。不妨设mi
x21x22x22mi
x31x32x32
由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个ui，所以只能是x11u1同样，第二列中也必含某个
x11x12x13
uii
12不妨设
x22

u2
于是u3

x33
，即ui
是数表S
中的对角线上数字：S


x21
x22
x23

x31x32x33
记M｛1，2，，9｝，令集合IkMxikmi
xi1xi2i13
显然IkMx1kr