x11x3kx32且123I因为x18x381x11x32，所以8I
故I
于是存在kI
使得
x2
k


max
x2k
kI显然，k
123

x11
x12
x1k
下面证明33数表Sx21
x22
x2k

具有性质（

）
x31
x32
x3k

从上面的选法可知uimi
xi1xi2xikmi
xi1xi2i13这说明
x1kmi
x11x12u1x3kmi
x31x32u3
又由S
满足性质（），在（3）中取k

k

，推得
x2k

u2于是u2

mi
x21

x22

x2k



x2k
下证对任意的kM存在某个i123使得uixik假若不然，则xikmi
xi1xi2i13且
x2k

x2k
这与
x2
k

的最大性矛盾。因此，数表S满足性质（）。
2009年全国高中数学联合竞赛试题第10页共11页
f下证唯一性。设有
k
M
使得数表
S
，
S


x11x21
x12x22
x1kx2k
x31x33x3k
具有性质（）不失一般性，我们假定u1mi
x11x12x13x11（4）
u2mi
x21x22x23x22，u3mi
x31x32x33x33。x32x31
由于x32x31，x22x21，及（i），有u1mi
x11x12x1kx11又由（i知：或者
au3mi
x31x32x3kx3k，或者bu2mi
x21x22x2kx2k如果a成立，由数表S具有性质（），则u1mi
x11x12x1kx11，
（5）u2mi
x21x22x2kx22，u3mi
x31x32x3kx3k由数表S满足性质（），则对于3M至少存在一个i123使得uixi3，又由（4），（5）式
知，u1x11x13u2x22x23所以只能有u3x3kx33同样由数表S满足性质（），可推得x33x3k于是k3，即数表SS
如果b成立，则u1mi
x11x12x1kx11，u1mi
x11x12x1kx11，（6）
u2mi
x21x22x2kx2k，u3mi
x31x32x3kx32
由数表S满足性质（），对于kM，存在某个i123使得uixik，
由kI
及（4）和（6）式知，
x1k


x11
u1x3k

x32
u3
于是只能有
x2
k


u2

x2k类似地，由S满足性质（）及kM
可推得x2k
u2

x2k
，从而
kk。
2009年全国高中数学联合竞赛试题第11页共11页
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