京翰教育中心httpwwwzgjhjycom
年全国高中数学联合竞赛试题及解答1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答一、选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为qq≠1的等比数列a，设
3
2


b1a1a2a3
a
3
1
b2a4a5a6…b
a
则数列b
A是等差数列3C是公比为q的等比数列解析：C由题设，a
a1q
1，则
a
3

…，
B是公比为q的等比数列D既非等差数列也非等比数列
因此，｛b
｝是公比为q3的等比数列．2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式x1A16
2
y1B17
2
＜2的整点xy的个数是C18D25

解析：A由x12y122可得x1y1为0，0，0，1，0，1，1，0或1，0从而，不难得到xy共有16个．3．若log23
x
log53≥log23log53
Bxy≥0Dxy≤0
x
y
y
，则

Axy≥0Cxy≤0
解析：B记ftlog23tlog53t，ft在R上是严格增函数．则原不等式即fx≥fy．故x≥y，即xy≥0．4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与ab中的一条相交；
f京翰教育中心httpwwwzgjhjycom
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，A命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确B命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确D两个命题都不正确C两个命题都正确解析：D．
如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．
5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是A0B1C2D3解析：B设这三名选手之间的比赛场数是r，共
名选手参赛．由题意，可得，即44r．由于0≤r≤3，
经检验可知，仅当r1时，
13为正整数．
26．已知点A12，过点52的直线与抛物线y4x交于另外两点BC，那么，△ABC是B钝角三角形A锐角三角形C直角三角形D答案不确定
解析：C设Bt22tCs22ss≠ts≠1t≠1，则直线BC的方程为得2xsty2st0．由于直线BC过点5，2，故2×5st22st0，即r