2009年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）
1．
若函数fx
x1x2
且
f
x
f
f
f
fx，则f991
．


【答案】110
【解析】f1xfxx，
1x2
f2xffx
x12x2
……
f99x
x
．
199x2
故f9911．
10
2．已知直线Lxy90和圆M2x22y28x8y10，点A在直线L上，B，
C为圆M上两点，在ABC中，BAC45，AB过圆心M，则点A横坐标范围
为
．
【答案】3，6
【解析】设Aa，9a，则圆心M到直线AC的距离dAMsi
45，由直线AC与圆M相
交，得d≤34．2
解得3≤a≤6．
y≥0
3．
在坐标平面上有两个区域
M
和
N
，
M
为

y
≤
x
，N是随t变化的区域，它由
y≤2x
不等式t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函
数ft
．
【答案】t2t12
【解析】由题意知
ftS阴影部分面积
SAOBSOCDSBEF
11t211t2
22t2t1
2
y
A
C
E
OD
FB
x
4．使不等式111a20071对一切正整数
都成立的最小正整数

1
2
2
1
3
a的值为．
f【答案】2009
【解析】设f
111．显然f
单调递减，则由f
的最大值

1
2
2
1
f1a20071，可得a2009．
3
5．
椭圆
x2a2

y2b2
1
a
b

0
上任意两点P，Q，若OP
OQ
，则乘积OPOQ的最
小值为．
【答案】2a2b2a2b2
【解析】设POPcos，OPsi
，
Q

OQ
cos

π2

，OQ
si



π2


．
由P，Q在椭圆上，有
1OP2

cos2a2

si
2b2
①
1OQ2

si
2a2

cos2b2
②
①②得
1OP2

1OQ2

1a2

1b2
．
于是当OPOQ
2a2b2a2b2
时，
OP
OQ
达到最小值
2a2b2a2b2
．
6．若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是
．
【答案】k0或k4
kx0
【解析】

x

1

0
kx


x

12
当且仅当
kx0
①
x10
②
x22kx10③
对③由求根公式得
x1
，
x2

12
k

2

k
2

4k

④
k24k≥0k≤0或k≥4．
当k0时，由③得
r