因此SPMTSPNT（同底，等高）又P，N，T，M四点共圆，故TNPPMT180由三角形面积公式
1
1
1
SPMT

PMMTsi
PMT2

SPNT

2
PNNTsi
PNT

2
PNNT
si
PMT
1PNNTsi
PMT2
于是PMMTPNNT
（2）因为NCI1NCAACI1NQCQCI1CI1N，
所以
NC

NI1同理MC

MI2由
MPMT

NP
NT
得
NTMP

MTNP

2009年全国高中数学联合竞赛试题第7页共11页
f由（1）所证MPNC，NPMC故NTMTNI1MI2
又因I1NTQNTQMTI2MT，有I1NTI2MT故NTI1MTI2从而I1QI2NQMNTMI1TI2因此QI1I2T四点共圆
2009二、（本题满分
50
分）求证不等式
1



k1
k
k
2
1

l



12
，



12
。
★证明：首先证明一个不等式：xl
1xxx01x
事实上，令hxxl
1xgxl
1xx1x
则对x0，hx111x
0gx11x

1
1x2

x1x2
0
于是hxh00gxg00
在（1）中取x1得1l
111

1


令
x


k1
k
k2
1

l

，则
x1

12
，
x


x
1



2
1

l
1

1
1


21

1

10
21

因此
x


x
1


x1

12

又因为l
l
l
1l
1l
2l
2l
1l
1
1l
11
k1
k
从而
x


k1
kk21

1
l
1
k1
1k


1k1

k
k2
1

l
1

1k


21


1k1

k
k2
1

1k



1k1
k
2
11k

11
k1k1k
111

2009年全国高中数学联合竞赛试题第8页共11页
f2009三、（本题满分
50
分）设
k

l
是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数
m

k
，使得
C
km
与l互素。
★证明：法一：对任意正整数t，令mktlk我们证明Cmkl1
设p是l的任一素因子，只要证明：p
C
km

k
k
若pk，则由kCmkmkiitlkkmodp
i1
i1
即p不整除上式，故p
C
km
若pk，设1使pk，但p1k则p1lk故由
k
k
k
kCmkmkiitlkikmodp1
i1
i1
i1
及pk，且p1
k，知pkCmk且p1
k
C
km
从而
p

C
km
r