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年全国高中数学联合竞赛试题第5页共11页
f的通项公式为a



11
2


2

1
,所以,{
a

}的前

项和为
s


22

322

423


2
1


12

12
s


222

323

424


2


12
1
以上两式相减,整理得
12
s


32


32
1
所以
s


3

2

3


解法二:(I)由由韦达定理知q0又p所以
a1a222特征方程2pq0的两个根为
①当0时,通项a
A1A2

12由a12a232


A1A1

A22A22
23
2
解得A1A21故a
1

②当时,通项a
A1
A2
12由a1a222得
A1

A1
A22A22

2

2

,解得
A1



A2






1
1
1
1所以a

(II)同解法一。
200911、(本题满分15分)求函数yx2713xx的最大和最小值。
★解析:函数的定义域为013。因为yxx2713xx27132x13x
27133313当x0时等号成立。故y的最小值为3313又由柯西不等式得y2xx2713x21112xx27313x12123
所以
y1110分由柯西不等式等号成立的条件,得4x913xx27解得x9故当x9时等号成立。因此y的最大值为1115分
2009年全国高中数学联合竞赛试题第6页共11页
f2009年全国高中数学联合竞赛二试
2009一、(本题满分50分)
如图所示,M,N分别为锐角三角形ABC(AB)的外接圆上弧BC,AC的中点,过点C作PCMN交圆于P点,I为ABC的内心,连接PI并延长交圆于T点⑴求证:MPMTNPNT⑵在弧AB(不含C)上任取一点Q(QATB)记AQCQCB的内心分别为I1I2,
求证:QI1I2T四点共圆。
★证明:(1)连NI,MI由于PCMN,P,C,M,N共圆,故PCMN是等腰梯形。因此NPMC,
PMNC
连AM,CI,则AM与CI交于I,因为
MICMACACIMCBBCIMCI
所以MCMI,同理NCNI
于是NPMI,PMNI
故四边形MPNI为平行四边形。r
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