第一章整式
一、数学天地
杨辉三角形又称贾宪三角形帕斯卡三角形是二
项式系数在三角形
中的一种几何排列。
性质
1、每行数字左右
对称由1开始逐渐变
大然后变小回到1。
2、第
行的数字个数为
个。
3、第
行数字和为2
1。2的
1次方
4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。
5、将第2
1行第1个数跟第
2
2行第3个数、第2
3行第5个
数……连成一线这些数的和是第2
个斐波那契数。将第2
行第2个数
跟第2
1行第4个数、第2
2行第6个数……这些数之和是第2
1个斐波那契数。
6、第
行的第1个数为1第二个数为1×
1第三个数为1×
1×
22第四个数为1×
1×
22×
33…依此类推。
7两个未知数和的
次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第
1行。
介绍
其实中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。
杨辉字谦光南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中辑录了如上所示的三角形数表称之为“开方作法本源”图。
同时这也是多项式ab
打开括号后的各个项的二次项系数的规律。因此杨辉三角第x层第y项直接就是y
Crx。我们也不难得到第x层的所有项的总和为2x1即abx中ab都为1的时候。上述yx指y的x次方a
Crb指组合数。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到最简单的就是要找规律。
简单的说就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题比如xysup2xsup22xyysup2这样系数就是121这就是杨辉三角的其中一行立方四次方运算的结果看看各项的系数你就明白其中的道理了。
这就是杨辉三角也叫贾宪三角在外国被称为帕斯卡三角PascalsTria
gle。
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图在贾宪三角中第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式在此就不做说明了依次下去
二、知识串讲
1单项式
①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
②单项式的系数是这个单项式的数字因数作为单项式的系数必须连同数字前面的符号如果一个单项式只是字母的积并非没有系数
③一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数
例1在下列代数式
x
y
x
abc
r