即b


2
272
1
，a


2
12
27
。
类型九：
a
1

aa
ca

bd
〔
c

0、
ad
bc

0
〕
思路〔特征根法〕：递推式对应的特征方程为xaxb即cx2daxb0。当cxd


特征方程有两个相等实根x1

x2

时，数列

a

1


即

a

1ad
2c
为等差数列，我

们可设
1
a
1

ad2c

1
a


ad2c
〔为待定系数，可利用a1、a2求得〕；当特征方程
有两个不等实根
x1、
x2
时，数列

a
a


x1x2
是以
a1a1

x1x2
为首项的等比数列，我们可设
a
a

x1x2


a1a1

x1x2




1
〔


为待定系数，可利用其值的项间接求得〕；当特征方程的根
为虚根时数列a
通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。
例9
a1

12
，
a


4a
13〔
a
12

2〕，求a

。
解：当
2时，递推式对应的特征方程为x4x3即x22x30，解得x2
x1

1、x2

3
。数列

a
a


13

是以
a1x1a1x2

22

1为首项的等比数列，设
a
a

13

1

1
，由
a1

12
得
a2

2
那么
3


，

3
，即
a
a

13

13
1
，
f从而a


3
13
11
，
a


12

1

3
13
11




2
。
常见递推数列通项公式的求法
重、难点：1重点：递推关系的几种形式。2难点：灵活应用求通项公式的方法解题。
【典型例题】例1a
1ka
b型。
〔1〕k1时，a
1a
ba
是等差数列，a
b
a1b
〔2〕k1时，设a
1mka
m∴a
1ka
kmm
比拟系数：kmmb
mb∴k1
∴
a


k
b1是等比数列，公比为
k
，首项为
a1

k
b1
∴
a


bk1

a1

k
b1
k
1
∴
a


a1

k
b1

k

1

k
b1
例2a
1ka
f
型。
〔1〕k1时，a
1a
f
，假设f
可求和，那么可用累加消项的方法。
例：a
满足a1
1，a
1
a


1
1
求a
的通项公式。
f解：
∵
a
1a

111
1
1
∴
a


a
1

1
1

1

a
1
a
2

1
2

1
1
a
2
a
3

1
3

1
2
……
a3
a2

12

13
a2

a1
1
12
1对这〔
1〕个式子求和得：a
a11

∴
a

21

〔2〕k1时，当f
a
b那么可设a
1A
1Bka
A
B
∴a
1ka
k1A
k1BA
k1Aa∴k1BAb
解得：
A

k
a1
，
B

bk1

k
a12
∴a
A
B是以a1AB为首项，k为公比的等比数列
∴a
A
Ba1ABk
1
∴a
a1ABk
1A
B将A、B代入即可
〔3〕f
q
〔q0，1〕
a
1等式两边同时除以q
1得q
1

ka
qq

1q
C
令

a
q

C
1
那么

kq
C


1q
∴C
可归为a
1ka
b型
例3a
1f
a
型。
〔1〕假设f
是常数时，可归为等比数列。
f〔2〕假设fr