x2时，
a
ex1
1fx2
1e、f为待定系数，可利用a1m、a2
求得；当特征方程的根
为虚根时数列a
的通项与上同理，此处暂不作讨论。
例4a12、a23a
16a
1a
求a
。
解：递推式对应的特征方程为x2x6即x2x60，解得x12、x23。
设a
ex1
1fx2
1，而a12、a23，即
ef2e3f
2
3
，解得
ef
95
1
，即a


95
2
1

15
3
1。
5
f类型五：a
1pa
rq
〔pq0〕
思路〔构造法〕：a


pa
1

rq
1，设
a
q







a
1q
1



，那么

qp





1
q



rq
1
，从而解得



pq
r
。那么

a
q


p
r
q

是以
a1q

rpq
为首项，
pq
p为公比的等比数列。q
例5a11，a
a
12
1，求a
。
解：设
a
2






a
12
1



，那么
2


1
1
2


2
1
，解得



12
1
，

a
2


13
3
是以
12

13

16
为首项，
12
为公比的等比数列，即
a
2


13

16


12

1
，
a


2
13
。
类型六：a
1pa
f
〔p0且p1〕
思路〔转化法〕：a
pa
1f
1，递推式两边同时除以p
得
a
p


a
1p
1

f
1，我们令p

a
p

b
，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。
例6a12，a
14a
2
1，求a
。
解：a


4a
1

2

，式子两边同时除以
4

得
a
4


a
14
1


12


，令
a
4

b
，那么
fb

b
1


12


，依此类推有b
1
b
2


12

1

、b
2
b
3


12

2

、…、
b2

b1


12
2
，各式叠加得b


b1


i2

12


，即
b

b1


i2

1
2

12


i2
1
2


i1

1
2

1

1
2
a


4

b


4


1


12






4


2

。
类型七：a
1pa
r〔a
0〕
思路〔转化法〕：对递推式两边取对数得logma
1rlogma
logmp，我们令
b
logma
，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。
例7a110，a
1a
2，求a
。
解：对递推式a
1a
2左右两边分别取对数得lga
12lga
，令lga
b
，那么
b
12b
，即数列b
是以b1lg101为首项，2为公比的等比数列，即b
2
1，
因而得a
10b
102
1。
类型八：a
1

ca
pa
d
〔c0〕
思路〔转化法〕：对递推式两边取倒数得1pa
d，那么1d1p，
a
1ca

a
1ca
c
令b


1a

，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。
例8
a1

4，a
1

2a
2a
1
，求a

。
f解：对递推式左右两边取倒数得1a
1

2a
1即1
2a

a
1

112a

1，令1a

b
那么
b
1

12
b

1。设
b
1



12
b



，即


2
，数列b


2
是以
14

2


74
为
首项、
12
为公比的等比数列，那么b

2


72
1
，r