递推数列通项求解方法
类型一：a
1pa
q〔p1〕
思路1〔递推法〕：a
pa
1qppa
2qqpppa
3qqq
……
p
1a1

q1
p
p2

…p
2

a1

qp1

p
1
q1p
。
思路2〔构造法〕：设a
1

pa

，即p1q得

q，数列p1
a

是以a1


为首项、
p
为公比的等比数列，那么a


qp1
a1


q
p
1

p
1，
即a

a1


qp1
p
1
q1p
。
例1数列a
满足a
2a
13且a11，求数列a
的通项公式。
解：方法1〔递推法〕：
a
2a
1322a
233222a
3333……

2
1

31
2

22

…
2
2

1
2
31


2
1

312

2
1

3。
方法2〔构造法〕：设a
12a
，即3，数列a
3是以a134
为首项、2为公比的等比数列，那么a
342
12
1，即a
2
13。
f类型二：a
1a
f
思路1〔递推法〕：
a
a
1f
1a
2f
2f
1a
3f
3f
2f
1

1
…a1f
。i1
思路2〔叠加法〕：a
a
1f
1，依次类推有：a
1a
2f
2、

1
a
2a
3f
3、…、a2a1f1，将各式叠加并整理得a
a1f
，即i1

1
a
a1f
。i1
例2a11，a
a
1
，求a
。
解：方法1〔递推法〕：a
a
1
a
2
1
a
3
2
1

……
a1
23…
2
1

i1




1。2
方法2〔叠加法〕：a
a
1
，依次类推有：a
1a
2
1、a
2a
3
2、…、
a2
a1
2，将各式叠加并整理得a

a1


i2

，a

a1

i2


i1



12
。
f类型三：a
1f
a
思路1〔递推法〕：
a
f
1a
1f
1f
2a
2f
1f
2f
3a
3…
f1f2f3…f
2f
1a1。
思路2〔叠乘法〕：a
f
1，依次类推有：a
1f
2、
a
1
a
2
a
2f
3、…、a2f1，将各式叠乘并整理得a
f1f2f3…
a
3
a1
a1
f
2f
1，即a
f1f2f3…f
2f
1a1。
例3
a1
1，a





11
a
1
，求
a

。
解：方法
1〔递推法〕：a




11a
1



11


2

a
2


1
1



2


3
1
a
3
…
2。
1
方法2〔叠乘法〕：a
1，依次类推有：a
1
2、a
2
3、…、a32、
a
1
1
a
2

a
3
1
a24
a21，将各式叠乘并整理得a
1
2
3…21，即
a13
a1
1
143
a


1
1



2


3…
1
24
13

2
1
。
f类型四：a
1pa
qa
1
思路〔特征根法〕：为了方便，我们先假定a1m、a2
。递推式对应的特征方程
为x2

pxq，当特征方程有两个相等实根时，
a


c


d



p2

1


c
、d
为待定系
数，可利用a1m、a2
求得；当特征方程有两个不等实根时x1、r