数列求和专题复习
一、公式法
1等差数列求和公式：S


a12
a


a1


12
d
2等比数列求和公式：S



a1a11
q



1q

a1a
q1q
q1q1
3常见数列求和公式：
S


k1
k

1
2
1
；
S


k1
k2

1
6
12

1
；S


k1
k3

1
2
12
例
1：已知log3
x

1log23
，求
x

x2

x3

x

的前

项和
例
2：设
S

1
23

，

N
求
f




S
32S
1
的最大值
二、倒序相加法
f似于等差数列的前
项和的公式的推导方法。如果一个数列a
，与首末两项等距的两项之和等于首
末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法
例3：求si
21si
22si
23si
288si
289的值
例
4：求
12
12102

222292

323282

10210212
的和．
变式1：已知函数fx2x
2x2
（1）证明：
f
x
f
1x1；（2）求
f

110


f

210



f
810


f
910

的值
三、裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
f重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：
（1）a
f
1f

（2）
cos


si
1cos


1
ta
1
ta

（3）a


1
1

1


1
1
（4）a


2

2
212

1
1
12
12
1
12
1
（5）a




11


2

112
1

1
1

2
6
a

21
12

2
1
1
12


1
2
1



112

则S


1



112

例5：求数列11
1
的前
项和
1223
1
例
6：在数列a
中，a


1
1
2
1



1
，又
b


a

2a
1
，求数列b
的前
项的和
变式
1：求证：
cos
10cos1

1cos1cos2
1cos88cos89

cos1si
21
f四、q倍错位相减法
类似于等比数列的前
项和的公式的推导方法若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项
相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法
若a
b
c
，其中b
是等差数列，c
是公比为q等比数列，令
S
b1c1b2c2b
1c
1b
c
则qS
b1c2b2c3b
1c
b
c
1
两式相减并整理即得
例7：求和：S
13x5x27x32
1x
1
例8：求数列2462
前
项的和222232
五、分组求和法
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
f例9：求和：S
2351435263532
35

例10求数列
12
1的前
项和
课后巩固：
1等比数列a
的前
项和Sr