：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D又∵∠BOD＝2∠A，∠B＝30°，∠D＝20°∴2∠A＝30°∠A＋20°＋，∴∠A＝50°∴∠BOD＝2∠A＝100°解法二：如图，连接OA∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠DAB＝50°∴∠BOD＝2∠DAB＝100°（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°此时∠BOC＝60，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°∴△DAC∽△BOC∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝1AB＝32ACOBD
15．（1）证明：连接ME、MF、EF∵∠EAF＝90°，∴EF为⊙O的直径，∴∠EMF＝90°
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f又∠AMD＝90°，∴∠EMD＝∠FMA∵DM＝AM，∠EDM＝∠FAM＝45°∴△DEM≌△AFM，∴DE＝AF（2）解：∵DE＝AF，∴AE＋AF＝AD＝2＋13∵⊙O的半径为，∴EF＝32又AE＋AF＝EF＝3，即AE＋AF－2AEAF＝3∴2＋1－2AEAF＝3，∴AEAF＝2∴AE、AF是方程x－2＋1x＋2＝0的两个根解得AE＝2，AF＝1或AE＝1，AF＝2∴AE2＝2或ED2
222222
A
EO
D
M
FB
C
16．解：（1）点N是线段BC的中点，理由如下：∵AD与小圆相切于点M，∴ON⊥AD又∵AD∥BC，∴ON⊥BC∴点N是线段BC的中点（2）连接OB，设小圆的半径为r1则ON＝r＋5，OB＝r＋6，且BN＝BC＝52在Rt△OBN中，5＋r＋5＝r＋6解得：r＝7cm即小圆的半径为7cm17．（1）证明：取PB的中点E，连接QE∵Q是PC的中点，E是PB的中点∴QE为△PBC的中位线，QE∥BC∵AT为经过A点的切线，AB为直径∴AT⊥AB∵CD⊥AB，∴AT∥CD，∠TAO＝∠QPE＝90°PQAT∴△BPQ∽△BAT，∴＝PBAB∵PB＝2PE，AB＝2AO，∴PQAT＝PEAOAOQBPEDRCT
222
OABMNCD
∴△TAO∽△QPE，∴∠AOT＝∠PEQ∴OT∥QE∵QE∥BC，∴BC∥OT分4（2）解：∵CD⊥AB，AB为直径，CD＝8
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f∴CP＝PD＝4连接OC在Rt△OCP中，∵PC＝4，OC＝∴OP＝3，∴PB＝OB－OP＝2BC∥OT，∴△TAO∽△CPB，∴∵AO＝1AB＝52ATPC＝＝2AOPB1AB＝52
∴AT＝107分（3）解：在Rt△TAO中，OT＝AT＋AO＝55∵AT∥CR，∴△AOT∽△POR∴3×55OTOAOPOT＝，∴OR＝＝＝35OROPOA5
22
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