为
3111T
再将3单位化得
3
33
33
3T3
10分）
令
2
6
3
2
63
P1230

63
33

22
66
33

则P是一个正交矩阵且满足
513
f线性代数测试试卷及答案
100
P1AP

PT
AP


0
1
0


005
所以，正交变换XPY为所求它把二次型化成标准形
f
x1x2x3


y
21

y22

5
y
23

六证明：必要性
12分
由l1l2l3交于一点得方程组
有解可知
ax2by3c0bx2cy3a0cx2ay3b0
a2b3c
1bc
RARAb2c3a0abc1ca02分）
c2a3b
1ab
1bc
由于1
c
a


12
b

a2

c

b2

a

c2


0
，所以
a

b

c

0
（3分
1ab
充分性：abc0bac
a
b
2b2c

2acb2

2acac2
a2
c2
ac2
0

a2b3cabc
1bc

又因为b2c3a6bca6abc1ca0

c2a3bcab
1ab

RARA2，5分因此方程组
ax2by3c0bx2cy3a0cx2ay3b0
有唯一解，即l1l2l3交于一点（6分）
613
f线性代数测试试卷及答案
线性代数习题和答案
第一部分选择题（共28分
一、单项选择题本大题共14小题每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1。设行列式a11a12ma13a11
，则行列式a11a12a13等于

a21a22
a23a21
a21a22a23
A。m
C。
m
B。m
D。m

100
2。设矩阵
A

0
2
0，则A1等于
）
003
1

3
A。0
01
00
2
001


1
C

30
0
010
0201



1
B0
01
00
2
0013
1

2
D。0
01
00
3
001


312
3设矩阵
A

1
0
1
A是
A
的伴随矩阵，则
A
＊中位于（1，2）的元素是（
）
214
A6
B6
C。2
D。2
4。设A是方阵，如有矩阵关系式ABAC，则必有）
A。A0
BBC时A0
713
f线性代数测试试卷及答案
CA0时BC
DA0时BC
5已知3×4矩阵A的行向量组线性无关则秩（AT）等于
）
A。1
B。2
C3
D4
6。设两个向量组α1，α2，…αs和β1，β2，…βs均线性相关，则（
）
A有不全为0的数λ1，λ2…，λs使λ1α1λ2α2…λsαs0和λ1β1λ2β2…λsβs0
B。有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1β1）λ2（α2β2）…λs（αsβs）0
C。有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1β1）λ2α2β2）…λs（αsβs）0
D有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1λ2α2…λsαs0
和μ1β1μ2β2…μsβs0
7设矩阵A的秩为r，则A中（）
A所有r1阶子式都不为0
B所有r1阶子式全为0
C至少有一个rr