xdx
a
1a1afx2dxfx2dx2a2a
五、证明题（每小题7分，共14分）1证明方程4arcta
xx
因fx在aa上连续由最值定理mfxMxaa
430恰有两个实根。3
111mfMmx2fx2Mx2222131a131a3amfx2dxa3Mm3fx2dxMm3aa323a2a
由介值定理知在aa至少存在一点使af3
3
解：令fx4arcta
xx
43x3x43，则fx1231x1x2

a
a
fxdxM
令fx0x13x23由单调性的判别法知

a
a
fxdx
fx在3上单调减少，在33上单调增加，在3上单调减少。
因为f30为fx在3上最小值，所以x3为fx在3上唯一的零点。又因为f32
六、应用题（共8分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）。设该企业y生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（件），且这两种产品的边际成本分别为20
430，且limfxx3
x（万元件）与6y（万元件）。2
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数Cxy（万元）；（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？（Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。解（Ⅰ）
所以由连续函数的介值定理知fx在3上存在唯一零点。综上所述，fx在恰有两个零点，即原方程恰有两个实根。
2设fx在aaa0上具有二阶连续导数f001写出fx的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
CxC206yC0010000x2y
从而有Cxy1000020x
121x6yy242
重庆大学2014版试卷标准格式
f重庆大学高等数学1课程试卷第4页共4页
（Ⅱ）由题设知xy50，此时的成本函数为
fxCx50x10000
求导得fx又f24
121x650x50x20x5042
3x36。令fx0解得唯一驻点x24。2
30，所以x24是成本函数Cx50x的最小值点。2
故当甲为24件，乙为26件时，总成本达到最小，最小成本为C242611118万元。（Ⅲ）
Cx
x24y26
x20r